$n$ は整数とする。命題「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。

1. 問題の内容

$n$ は整数とする。命題「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。

元の命題の対偶は、「$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数である」となる。

$n$ が奇数であると仮定すると、$n$ はある整数 $k$ を用いて、$n = 2k+1$ と表せる。

このとき、$n^2$ は

$$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$

と表せる。

$2k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は奇数である。

したがって、$n$ が奇数ならば、$n^2$ は奇数であることが示された。

これは元の命題の対偶が真であることを意味する。

対偶が真なので、元の命題「$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が偶数ならば、$n$ は偶数である。