拡張ユークリッドの互除法を用いて、$113s + 41t = \gcd(113, 41)$ を満たす整数の組 $s, t$ を求める問題です。

1. 問題の内容

拡張ユークリッドの互除法を用いて、$113s + 41t = \gcd(113, 41)$ を満たす整数の組 $s, t$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ユークリッドの互除法で $113$ と $41$ の最大公約数（GCD）を計算します。

$113 = 41 \cdot 2 + 31$

$41 = 31 \cdot 1 + 10$

$31 = 10 \cdot 3 + 1$

$10 = 1 \cdot 10 + 0$

したがって、$\gcd(113, 41) = 1$です。

次に、拡張ユークリッドの互除法を用いて、$113s + 41t = 1$ を満たす $s$ と $t$ を求めます。上記の手順を逆にたどります。

$1 = 31 - 10 \cdot 3$

$1 = 31 - (41 - 31 \cdot 1) \cdot 3 = 31 - 41 \cdot 3 + 31 \cdot 3 = 31 \cdot 4 - 41 \cdot 3$

$1 = (113 - 41 \cdot 2) \cdot 4 - 41 \cdot 3 = 113 \cdot 4 - 41 \cdot 8 - 41 \cdot 3 = 113 \cdot 4 - 41 \cdot 11$

したがって、$113 \cdot 4 + 41 \cdot (-11) = 1$ となります。

よって、$s = 4$ , $t = -11$ です。

3. 最終的な答え

$s = 4$

$t = -11$