与えられた選択肢の中から、常に正しいものを全て選びます。 (1) 無理数と無理数の和は常に無理数である。 (2) 無理数と有理数の和は常に有理数である。 (3) 無理数と有理数の積は常に無理数である。 (4) 有理数と無理数の積は常に有理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、常に正しいものを全て選びます。

(1) 無理数と無理数の和は常に無理数である。

(2) 無理数と有理数の和は常に有理数である。

(3) 無理数と有理数の積は常に無理数である。

(4) 有理数と無理数の積は常に有理数である。

2. 解き方の手順

それぞれの選択肢について検討します。

(1) 無理数と無理数の和は常に無理数であるか。

これは正しくありません。例えば、$\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ はどちらも無理数ですが、それらの和は $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ であり、これは有理数です。

(2) 無理数と有理数の和は常に有理数であるか。

これは正しくありません。無理数と有理数の和は常に無理数です。

もし $a$ が有理数、$b$ が無理数で、$a+b$ が有理数であると仮定すると、$a+b=c$ (cは有理数)と表せる。すると、$b = c-a$ となり、$c$と$a$が有理数なので、$b$も有理数となり矛盾します。

(3) 無理数と有理数の積は常に無理数であるか。

これは、有理数が0でない場合に正しいです。有理数が0の場合、積は0となり、有理数となります。例えば、$\sqrt{2}$は無理数、2は有理数であり、その積 $2\sqrt{2}$ は無理数です。しかし、有理数として0をとると、$0*\sqrt{2} = 0$は有理数です。

(4) 有理数と無理数の積は常に有理数であるか。

これは正しくありません。有理数が0でない場合、有理数と無理数の積は常に無理数です。しかし、有理数が0の場合、積は0となり、有理数となります。例えば、2は有理数、$\sqrt{2}$は無理数であり、その積 $2\sqrt{2}$ は無理数です。しかし、有理数として0をとると、$0*\sqrt{2} = 0$は有理数です。

選択肢３において、有理数が0でないという条件の場合、無理数になります。しかし、問題文にはそのような記述はないため、条件が全ての場合において正しいとは言えません。選択肢４も同様です。

したがって、正しいものはありません。

しかしながら、選択肢3と4について、有理数が0でない場合に限定すると、

(3) 無理数と0でない有理数の積は常に無理数である。

(4) 0でない有理数と無理数の積は常に無理数である。

は正しい記述となります。

3. 最終的な答え

なし

または

(3),(4) （ただし有理数は0でないという条件の場合）