与えられた選択肢の中から、常に正しいものをすべて選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。 (1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。 (2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。 (3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。 (4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、常に正しいものをすべて選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

2. 解き方の手順

各選択肢について検討します。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数であるか？

これは正しくありません。例えば、$\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ であり、0は有理数です。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数であるか？

有理数は分数 $\frac{p}{q}$ (ただし、$p, q$ は整数、$q \neq 0$) で表せる数です。二つの有理数 $\frac{p_1}{q_1}$ と $\frac{p_2}{q_2}$ の差は $\frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 - p_2q_1}{q_1q_2}$ となり、これも有理数です。したがって、これは正しいです。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数であるか？

これは正しくありません。例えば、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ であり、1は有理数です。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数であるか？ (ただし、有理数は0でない)

有理数を $r$ (ただし、$r \neq 0$)、無理数を $\alpha$ とします。もし $\frac{r}{\alpha}$ が有理数 $q$ であると仮定すると、$\frac{r}{\alpha} = q$ より $\alpha = \frac{r}{q}$ となります。$r$ と $q$ が有理数であるため、$\frac{r}{q}$ も有理数となり、$\alpha$ が無理数であるという仮定に矛盾します。したがって、$\frac{r}{\alpha}$ は無理数です。同様に$\frac{\alpha}{r}$が有理数であると仮定すると、$\frac{\alpha}{r}=q$より$\alpha = qr$となり、$q$と$r$が有理数であるため、$qr$も有理数となり、$\alpha$が無理数であるという仮定に矛盾します。したがって、これは正しいです。

3. 最終的な答え

(2)と(4)