$\sqrt[3]{882m}$ が整数となるような最小の自然数 $m$ を求め、そのときの $\sqrt[3]{882m}$ の正の約数の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{882m}$ が整数となるような最小の自然数 $m$ を求め、そのときの $\sqrt[3]{882m}$ の正の約数の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、882を素因数分解します。

$882 = 2 \times 441 = 2 \times 3 \times 147 = 2 \times 3 \times 3 \times 49 = 2 \times 3^2 \times 7^2$

したがって、$\sqrt[3]{882m} = \sqrt[3]{2 \times 3^2 \times 7^2 \times m}$ となります。

$\sqrt[3]{882m}$ が整数となるためには、$2 \times 3^2 \times 7^2 \times m$ がある整数の3乗になる必要があります。

$2 \times 3^2 \times 7^2 \times m = k^3$ （$k$は整数）

$m$ は最小の自然数なので、$2, 3, 7$ の指数が3の倍数になるように $m$ を選びます。

$m = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 12 \times 7 = 84$

したがって、$m = 2^2 \times 3 \times 7 = 84$のとき、

$\sqrt[3]{882m} = \sqrt[3]{2 \times 3^2 \times 7^2 \times 2^2 \times 3 \times 7} = \sqrt[3]{2^3 \times 3^3 \times 7^3} = 2 \times 3 \times 7 = 42$

$42$ の正の約数の個数を求めます。

$42 = 2 \times 3 \times 7$ なので、正の約数の個数は $(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8$ です。

問題文から、$m = 14$ であり、正の約数の個数は 18 とあるため、確認します。

$882 = 2 \times 3^2 \times 7^2$

$\sqrt[3]{882m} = \sqrt[3]{2 \times 3^2 \times 7^2 m}$

$\sqrt[3]{882m}$ が整数になる最小の $m$ は、それぞれの素因数の指数が3の倍数になるようにするので、$m=2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$です。

問題文には$m=14$と書かれているので、$m=14$とします。

$882 m = 882 \times 14 = 2 \times 3^2 \times 7^2 \times 2 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7^3$

$\sqrt[3]{882m} = \sqrt[3]{2^2 \times 3^2 \times 7^3} = 7 \sqrt[3]{2^2 \times 3^2} = 7 \sqrt[3]{36}$

$m=14$ のとき$\sqrt[3]{882m}$は整数ではないので問題文がおかしいと考えられます。

$\sqrt[3]{882m}$ が整数になる最小の $m$ は、それぞれの素因数の指数が3の倍数になるようにするので、$m=2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$です。

このとき $\sqrt[3]{882m} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3 \cdot 7^3} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$

$42 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1$ なので、正の約数の個数は $(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$個

問題文は $m=14$ のとき、$\sqrt[3]{882m}$ の正の約数の個数は 18 とあるため、確認します。

$882 \times 14 = 12348 = 2^2 \times 3^2 \times 7^3$

$\sqrt[3]{12348}$ は整数ではないため、$\sqrt[3]{882m}$ の正の約数の個数も存在しません。

問題文の通りに進めると答えが出ないため、最初の部分だけ答えます。

$\sqrt[3]{882m}$ が整数となるような最小の自然数mは、$m=84$ である。

3. 最終的な答え

最小の自然数 $m$ は 84 です。

正の約数の個数については、問題文に矛盾があるので解答不能です。

$m=84$の場合、$\sqrt[3]{882m} = 42$であり、42の正の約数の個数は8です。

したがって、

最小の自然数 $m$ は 84。

$m = 84$のとき$\sqrt[3]{882m}$の正の約数の個数は8。