$n$ は整数とする。命題「$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である」を証明する。

1. 問題の内容

$n$ は整数とする。命題「$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である」を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明する代わりに、対偶を証明する。対偶は「$n$ が3の倍数でないならば、$n^2$ は3の倍数でない」となる。

$n$ が3の倍数でないとき、$n$ はある整数 $k$ を用いて、$n = 3k + 1$ または $n = 3k + 2$ と表せる。

(i) $n = 3k + 1$ のとき、

$$n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$$

$3k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は3で割ると1余る数となり、3の倍数ではない。

(ii) $n = 3k + 2$ のとき、

$$n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$$

$3k^2 + 4k + 1$ は整数なので、$n^2$ は3で割ると1余る数となり、3の倍数ではない。

したがって、$n$ が3の倍数でないならば、$n^2$ は3の倍数でない。これは元の命題の対偶であり、対偶が真であることから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である。