自然数 $a$ と $b$ が互いに素であるとき、$a+2b$ と $3a+5b$ も互いに素であることを背理法を用いて証明する。

1. 問題の内容

自然数 $a$ と $b$ が互いに素であるとき、$a+2b$ と $3a+5b$ も互いに素であることを背理法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いるため、$a+2b$ と $3a+5b$ が互いに素でないと仮定する。つまり、$a+2b$ と $3a+5b$ の最大公約数 $d$ が $d > 1$ であると仮定する。

このとき、$a+2b$ と $3a+5b$ は $d$ で割り切れるから、

$a+2b = kd$ (k は整数)

$3a+5b = ld$ (l は整数)

となる。

上の式に3をかけると

$3(a+2b) = 3kd$

$3a + 6b = 3kd$

この式から $3a+5b = ld$ を引くと

$(3a + 6b) - (3a+5b) = 3kd - ld$

$b = (3k-l)d$

同様に、

$5(a+2b) = 5kd$

$5a + 10b = 5kd$

下の式に2をかけると

$2(3a+5b) = 2ld$

$6a + 10b = 2ld$

上の式から下の式を引くと

$(5a + 10b) - (6a + 10b) = 5kd - 2ld$

$-a = (5k-2l)d$

$a = (2l-5k)d$

$a = (2l-5k)d$ と $b = (3k-l)d$ より、$a$ と $b$ は $d$ という共通の約数を持つことがわかる。

しかし、$d > 1$ なので、$a$ と $b$ は互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$a+2b$ と $3a+5b$ は互いに素である。

3. 最終的な答え

$a+2b$ と $3a+5b$ は互いに素である。（証明終わり）