自然数 $a, b$ が互いに素であるとき、$a+b$ と $ab$ も互いに素であることを示す必要がある。

1. 問題の内容

自然数 $a, b$ が互いに素であるとき、$a+b$ と $ab$ も互いに素であることを示す必要がある。

2. 解き方の手順

$a+b$ と $ab$ が互いに素でないと仮定する。つまり、$a+b$ と $ab$ の両方を割り切る素数 $p$ が存在すると仮定する。

$p$ は $a+b$ を割り切るので、

$a+b \equiv 0 \pmod{p}$

つまり、

$a \equiv -b \pmod{p}$

$p$ は $ab$ を割り切るので、

$ab \equiv 0 \pmod{p}$

$a \equiv -b \pmod{p}$を$ab \equiv 0 \pmod{p}$に代入する。

$(-b)b \equiv 0 \pmod{p}$

$-b^2 \equiv 0 \pmod{p}$

$b^2 \equiv 0 \pmod{p}$

これは、$p$ が $b$ を割り切ることを意味する。

$a \equiv -b \pmod{p}$より、$a = -b + kp$ ($k$ は整数)

$p$ は $b$ を割り切るので、$b=np$ ($n$ は整数)

$a = -np + kp = (k-n)p$

したがって、$p$ は $a$ も割り切る。

したがって、$p$ は $a$ と $b$ の両方を割り切る。これは、$a$ と $b$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$a+b$ と $ab$ は互いに素である。

3. 最終的な答え

自然数 $a, b$ が互いに素であるとき、$a+b$ と $ab$ も互いに素である。