与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。 (1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。 (2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。 (3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。 (4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

2. 解き方の手順

各選択肢について真偽を確かめます。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

これは偽です。反例として、$\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ があります。$\sqrt{2}$は無理数ですが、0は有理数です。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

これは真です。有理数 $a, b$ を $a = \frac{p}{q}, b = \frac{r}{s}$ （$p, q, r, s$ は整数、$q, s \neq 0$）と表すと、

$a - b = \frac{p}{q} - \frac{r}{s} = \frac{ps - qr}{qs}$

となり、$ps - qr$ と $qs$ は整数で、$qs \neq 0$ なので、$a - b$ も有理数です。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

これは偽です。反例として、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ があります。$\sqrt{2}$は無理数ですが、1は有理数です。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。ただし、有理数は0でないものとします。

これは真です。有理数 $a$ ($a \neq 0$) と無理数 $b$ があるとき、$a \cdot b$ が有理数であると仮定すると、$a \cdot b = c$ (cは有理数)。

すると、$b = \frac{c}{a}$ となり、有理数 $\frac{c}{a}$ の商は有理数であるため、$b$ も有理数となり、矛盾します。したがって、$a \cdot b$ は無理数です。

3. 最終的な答え

(2)と(4)