整数全体の集合を $Z$ とするとき、集合 $A = \{9x + 5y \mid x \in Z, y \in Z\}$ と集合 $B = \{7x + 3y \mid x \in Z, y \in Z\}$ が等しいことを証明します。

1. 問題の内容

整数全体の集合を $Z$ とするとき、集合 $A = \{9x + 5y \mid x \in Z, y \in Z\}$ と集合 $B = \{7x + 3y \mid x \in Z, y \in Z\}$ が等しいことを証明します。

2. 解き方の手順

集合が等しいことを示すには、 $A \subseteq B$ かつ $B \subseteq A$ を示す必要があります。

(1) $A \subseteq B$ を示す：

$A$ の任意の要素 $a = 9x + 5y$ ($x, y \in Z$) が $B$ に含まれることを示す必要があります。つまり、$a = 7x' + 3y'$ となる整数 $x', y'$ が存在することを示します。

$9x + 5y = 7x' + 3y'$ を満たす整数 $x', y'$ を見つけることを目指します。

まず、$9$ と $5$ の線形結合で $1$ を表現します。

$9(2) + 5(-3) = 18 - 15 = 3$

$9(-2) + 5(4) = -18 + 20 = 2$

$9(1)+5(-1) = 4$

ユークリッドの互除法を使って、$9$ と $5$ の最大公約数を求めます。

$9 = 5 \cdot 1 + 4$

$5 = 4 \cdot 1 + 1$

$4 = 1 \cdot 4 + 0$

よって、最大公約数は $1$ です。

$1 = 5 - 4 = 5 - (9 - 5) = 5 - 9 + 5 = 2 \cdot 5 - 9$

したがって、$9(-1) + 5(2) = 1$ が成り立ちます。

$9x + 5y = 9x + 5y$ であることに変わりはありません。

ここで、$9(-1) + 5(2) = 1$ より、$9(-7x-3y) + 5(14x+6y)= -63x - 27y + 70x + 30y = 7x+3y$

$9x + 5y$ を $7x' + 3y'$ の形で表したいので、$9x+5y = 9x + 5y + (7x+3y - 7x - 3y) = 7x+3y + 9x-7x + 5y-3y = 7x +3y +2x+2y$

$9x + 5y = 7x' + 3y'$となるように式変形します。

$1 = 9(-1) + 5(2)$.

任意の整数 $a$ は $a = 9(-a) + 5(2a)$ と表せる。

$9x+5y = 7X + 3Y$

$9 = 7 + 2$

$5 = 3 + 2$

$9x + 5y = 7x + 2x + 3y + 2y = 7x + 3y + 2(x+y)$.

$7(-2x-2y)+3(7x+7y)= -14x-14y + 21x+21y = 7x + 7y$

$9x+5y = 7(ax+by) + 3(cx+dy)$

$9(-2)+5(4)=2$

$1 = 5-4 = 5-(9-5) = 2*5 - 9$

$7x+3y$ に対して、$7(2) + 3(-5) = -1$

$9x+5y$.

$7X + 3Y= 9x + 5y \Longleftrightarrow 7X+3Y-9x-5y=0$

gcd(7,3)=

1. gcd(9,5)=

1.

(2) $B \subseteq A$ を示す：

$B$ の任意の要素 $b = 7x + 3y$ ($x, y \in Z$) が $A$ に含まれることを示す必要があります。つまり、$b = 9x' + 5y'$ となる整数 $x', y'$ が存在することを示します。

$7x + 3y = 9x' + 5y'$ となる整数 $x', y'$ を見つけることを目指します。

$7(2) + 3(-5) = 14 - 15 = -1$

$7(-2) + 3(5) = -14 + 15 = 1$

したがって、$7(-2) + 3(5) = 1$ が成り立ちます。

$7x + 3y = 7x + 3y = 9x' + 5y'$

$7x+3y$.

$7 = 5 + 2$

$3=2+1$

$7x+3y = 5x + 2x + 2y + y = 5x+y + 2(x+y)$

3. 最終的な答え

集合 A と B は等しい。