$m, n$ は正の整数で $m < n$ とする。このとき、$m$ 以上 $n$ 以下の分数で、5を分母とし、5の倍数でない整数を分子とするもの全体の和を求めよ。

1. 問題の内容

$m, n$ は正の整数で $m < n$ とする。このとき、$m$ 以上 $n$ 以下の分数で、5を分母とし、5の倍数でない整数を分子とするもの全体の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$m$ 以上 $n$ 以下の整数で、5の倍数でないものを列挙します。

整数 $k$ に対して、$\frac{k}{5}$ が条件を満たす分数の候補となります。$m \le \frac{k}{5} \le n$ を満たす $k$ を探します。

これは $5m \le k \le 5n$ と同値です。したがって、$k$ は $5m$ 以上 $5n$ 以下の整数となります。

次に、これらの整数の中で、5の倍数であるものを除外します。

5の倍数でない整数の全体を $S$ とすると、求める和は $\sum_{k \in S} \frac{k}{5} = \frac{1}{5} \sum_{k \in S} k$ となります。

$5m$ 以上 $5n$ 以下のすべての整数の和は $\frac{(5m + 5n)(5n - 5m + 1)}{2}$ であり、5の倍数の和は $5 \times \frac{(m + n)(n - m + 1)}{2}$ となります。

$5m$ 以上 $5n$ 以下の5の倍数である数を $5k$ と表すと、$5m \le 5k \le 5n$ より $m \le k \le n$ であるので、 $k = m, m+1, ..., n$ となります。

このとき、$k$ の和は $\frac{(m+n)(n-m+1)}{2}$ ですから、$5k$ の和は $5 \times \frac{(m+n)(n-m+1)}{2}$ となります。

求める和は、全体から5の倍数の和を引いたものです。

$\sum_{k=5m}^{5n} k - \sum_{k=m}^{n} 5k = \frac{(5m+5n)(5n-5m+1)}{2} - \frac{5(m+n)(n-m+1)}{2}$

$= \frac{5(m+n)(5n-5m+1) - 5(m+n)(n-m+1)}{2}$

$= \frac{5(m+n)(5n-5m+1-(n-m+1))}{2}$

$= \frac{5(m+n)(4n-4m)}{2}$

$= 10(m+n)(n-m)$

求める和は $\frac{1}{5} \times 10(m+n)(n-m) = 2(n^2 - m^2)$

3. 最終的な答え

$2(n^2 - m^2)$