自然数 $k$ に対して、$x < y < k < x + y$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ の個数を $a_k$ とします。 (1) $a_7$, $a_8$ を求めよ。 (2) 自然数 $m$ に対して、$a_{2m-1}$, $a_{2m}$ を $m$ の式で表せ。 (3) 自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=1}^{2n} a_k$ を $n$ の式で表せ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、$x < y < k < x + y$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ の個数を $a_k$ とします。

(1) $a_7$, $a_8$ を求めよ。

(2) 自然数 $m$ に対して、$a_{2m-1}$, $a_{2m}$ を $m$ の式で表せ。

(3) 自然数 $n$ に対して、$\sum_{k=1}^{2n} a_k$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_7, a_8$を求める

$x < y < k < x + y$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ を数え上げる。

$x < y$ より、$y = x + d$ ($d$ は自然数) と書ける。

$k < x + y$ は $k < x + x + d$ より $k < 2x + d$ となる。すなわち、$2x + d > k$。

また、$y < k$ より、$x + d < k$。すなわち、$d < k - x$。

$a_7$ を求める。$k = 7$。

$2x + d > 7$ かつ $d < 7 - x$ を満たす $x, d$ を数え上げる。

$x = 1$ のとき、$2 + d > 7$ より $d > 5$。また、$d < 7 - 1 = 6$。よって、$d = 6$ は不適。

$x = 2$ のとき、$4 + d > 7$ より $d > 3$。また、$d < 7 - 2 = 5$。よって、$d = 4$。

$x = 3$ のとき、$6 + d > 7$ より $d > 1$。また、$d < 7 - 3 = 4$。よって、$d = 2, 3$。

$x = 4$ のとき、$8 + d > 7$ は常に成り立つ。また、$d < 7 - 4 = 3$。よって、$d = 1, 2$。

$x = 5$ のとき、$10 + d > 7$ は常に成り立つ。また、$d < 7 - 5 = 2$。よって、$d = 1$。

$x = 6$ のとき、$12 + d > 7$ は常に成り立つ。また、$d < 7 - 6 = 1$。不適。

したがって、$a_7 = 1 + 2 + 2 + 1 = 6$。

$a_8$ を求める。$k = 8$。

$2x + d > 8$ かつ $d < 8 - x$ を満たす $x, d$ を数え上げる。

$x = 1$ のとき、$2 + d > 8$ より $d > 6$。また、$d < 8 - 1 = 7$。不適。

$x = 2$ のとき、$4 + d > 8$ より $d > 4$。また、$d < 8 - 2 = 6$。よって、$d = 5$。

$x = 3$ のとき、$6 + d > 8$ より $d > 2$。また、$d < 8 - 3 = 5$。よって、$d = 3, 4$。

$x = 4$ のとき、$8 + d > 8$ より $d > 0$。また、$d < 8 - 4 = 4$。よって、$d = 1, 2, 3$。

$x = 5$ のとき、$10 + d > 8$ は常に成り立つ。また、$d < 8 - 5 = 3$。よって、$d = 1, 2$。

$x = 6$ のとき、$12 + d > 8$ は常に成り立つ。また、$d < 8 - 6 = 2$。よって、$d = 1$。

$x = 7$ のとき、$14 + d > 8$ は常に成り立つ。また、$d < 8 - 7 = 1$。不適。

したがって、$a_8 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9$。

(2) $a_{2m-1}, a_{2m}$ を $m$ の式で表す。

$k = 2m - 1$ のとき、$x < y < 2m - 1 < x + y$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ の個数を数え上げる。

$2x + d > 2m - 1$ かつ $x + d < 2m - 1$ を満たす自然数の組 $(x, d)$ の個数。

$x = 1$ から $m - 1$ までは、$2x + d > 2m - 1$ を満たす $d$ は存在しない。

$x = m$ のとき、$2m + d > 2m - 1$ より $d \geq 1$。$m + d < 2m - 1$ より $d < m - 1$。よって、$d = 1, 2, \ldots, m - 2$。個数は $m - 2$。

$x = m + j$ ($1 \leq j \leq m - 2$) のとき、$2(m + j) + d > 2m - 1$ より $d > -1 - 2j$。これは常に成り立つ。また、$m + j + d < 2m - 1$ より $d < m - 1 - j$。個数は $m - 1 - j$。

$x = 2m - 2$ のとき、$2(2m - 2) + d > 2m - 1$ は常に成り立つ。$2m - 2 + d < 2m - 1$ より $d < 1$ は不適。

$a_{2m-1} = \sum_{j=0}^{m - 2} (m - 1 - j) = \sum_{j=1}^{m-1} j = \frac{(m-1)m}{2}$。

$k = 2m$ のとき、$2x + d > 2m$ かつ $x + d < 2m$ を満たす自然数の組 $(x, d)$ の個数。

$x = 1$ から $m - 1$ までは、$2x + d > 2m$ を満たす $d$ は存在しない。

$x = m$ のとき、$2m + d > 2m$ より $d > 0$。また、$m + d < 2m$ より $d < m$。よって、$d = 1, 2, \ldots, m - 1$。個数は $m - 1$。

$x = m + j$ ($1 \leq j \leq m - 1$) のとき、$2(m + j) + d > 2m$ より $d > -2j$。これは常に成り立つ。また、$m + j + d < 2m$ より $d < m - j$。個数は $m - j$。

$x = 2m - 1$ のとき、$2(2m - 1) + d > 2m$ は常に成り立つ。$2m - 1 + d < 2m$ より $d < 1$ は不適。

$a_{2m} = \sum_{j=0}^{m - 1} (m - j) = \sum_{j=1}^{m} j = \frac{m(m+1)}{2}$。

(3) $\sum_{k=1}^{2n} a_k$ を $n$ の式で表す。

$\sum_{k=1}^{2n} a_k = \sum_{m=1}^n a_{2m-1} + \sum_{m=1}^n a_{2m} = \sum_{m=1}^n \frac{(m-1)m}{2} + \sum_{m=1}^n \frac{m(m+1)}{2} = \sum_{m=1}^n \frac{m^2 - m + m^2 + m}{2} = \sum_{m=1}^n m^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_7 = 6$, $a_8 = 9$

(2) $a_{2m-1} = \frac{m(m-1)}{2}$, $a_{2m} = \frac{m(m+1)}{2}$

(3) $\sum_{k=1}^{2n} a_k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$