9で割ると4余り、13で割ると8余るような整数のうち、最小の正の整数を求める。

1. 問題の内容

9で割ると4余り、13で割ると8余るような整数のうち、最小の正の整数を求める。

2. 解き方の手順

求める整数を$x$とする。問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

$x \equiv 4 \pmod{9}$

$x \equiv 8 \pmod{13}$

1つ目の式より、$x = 9k + 4$ （$k$は整数）と表せる。これを2つ目の式に代入する。

$9k + 4 \equiv 8 \pmod{13}$

$9k \equiv 4 \pmod{13}$

$9k \equiv 4 \pmod{13}$ の解を求める。

$9k \equiv 4 \pmod{13}$ に $3$ を掛けると

$27k \equiv 12 \pmod{13}$

$k \equiv 12 \pmod{13}$

$k = 13l + 12$ （$l$は整数）

これを$x = 9k + 4$ に代入する。

$x = 9(13l + 12) + 4$

$x = 117l + 108 + 4$

$x = 117l + 112$

$x$が最小の正の整数となるのは、$l=0$のときである。

$x = 117(0) + 112 = 112$

3. 最終的な答え

112