$m$ と $n$ は正の整数で $m < n$ であるとき、$m$ 以上 $n$ 以下の分数で、分母が5で分子が5の倍数でない整数の和を求めよ。

1. 問題の内容

$m$ と $n$ は正の整数で $m < n$ であるとき、$m$ 以上 $n$ 以下の分数で、分母が5で分子が5の倍数でない整数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$m$ 以上 $n$ 以下のすべての整数のうち、5の倍数でないものを考えます。

$m$ 以上 $n$ 以下の整数全体の集合を $S = \{m, m+1, m+2, \dots, n\}$ とします。$S$ の要素の個数は $n - m + 1$ 個です。

$S$ の中で5の倍数であるものを除いた集合を $S'$ とします。$S'$ の各要素を5で割った分数の総和を求めることが目標です。

$S'$ に含まれる数を小さい順に $a_1, a_2, \dots, a_k$ とすると、$S'$ の要素を分子にもつ分数は $\frac{a_1}{5}, \frac{a_2}{5}, \dots, \frac{a_k}{5}$ となります。

求めるべき和は $\sum_{i=1}^{k} \frac{a_i}{5} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{k} a_i$ です。

すなわち、$S'$ の要素の総和を求めてそれを5で割ればよいことがわかります。

$m$ から $n$ までの整数の総和は $\frac{(m+n)(n-m+1)}{2}$ です。

次に、$m$ 以上 $n$ 以下の5の倍数の総和を求めます。$m$ 以上の最小の5の倍数を $5p$ 、$n$ 以下の最大の5の倍数を $5q$ とします。このとき、$5p, 5(p+1), \dots, 5q$ が $m$ 以上 $n$ 以下の5の倍数です。この数列の要素数は $q - p + 1$ 個であり、総和は $\frac{(5p + 5q)(q - p + 1)}{2} = \frac{5(p+q)(q-p+1)}{2}$ です。

$S'$ の要素の総和は、$S$ の要素の総和から5の倍数の要素の総和を引いたものです。したがって、

$\sum_{i=1}^{k} a_i = \frac{(m+n)(n-m+1)}{2} - \frac{5(p+q)(q-p+1)}{2}$

です。

したがって、求めるべき和は

$\frac{1}{5} \left[ \frac{(m+n)(n-m+1)}{2} - \frac{5(p+q)(q-p+1)}{2} \right] = \frac{(m+n)(n-m+1) - 5(p+q)(q-p+1)}{10}$

となります。

ここで、$p = \lceil \frac{m}{5} \rceil$ ($m/5$ 以上の最小の整数)であり、$q = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor$ ($n/5$ 以下の最大の整数) です。

3. 最終的な答え

$\frac{(m+n)(n-m+1) - 5(\lceil \frac{m}{5} \rceil + \lfloor \frac{n}{5} \rfloor)(\lfloor \frac{n}{5} \rfloor - \lceil \frac{m}{5} \rceil + 1)}{10}$