4桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っている数の個数を求めます。

1. 問題の内容

4桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立っている数の個数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、使用する2種類の数字を選びます。

次に、それらの数字を使って4桁の数を作る場合の数を考えます。

ただし、先頭の桁は0であってはいけません。

最後に、すべての組み合わせを合計します。

ステップ1：使用する2つの数字の選び方

0を含む場合と含まない場合に分けて考えます。

0を含む場合：

0と1～9のいずれか1つを選ぶので、9通りです。選んだ2つの数字をa, 0とします。

この時、4桁の整数は $a,a,a,0$, $a,a,0,0$, $a,0,0,0$のようにaと0を並び替えることで作られます。

ただし、千の位は0にはなれないので、$a,a,a,0$の並べ方は4通り、$a,a,0,0$の並べ方は6通り、$a,0,0,0$の並べ方は1通りです。

したがって、0を含む場合の4桁の整数は $9\times(4+6+1) = 99$個あります。

しかし、$4+6+1 = 11$個は計算ミスです。

0を含む場合：0と1～9のいずれか1つを選ぶので、${}_{9}C_{1} = 9$通り。

選んだ2つの数字を$a, 0$とします。

この時、4桁の整数は、少なくとも1つは$a$でなければなりません。

$a$を1つ、0を3つ使う場合、$a000$の1通り。

$a$を2つ、0を2つ使う場合、$aa00$の並べ方は$\frac{4!}{2!2!} - \frac{3!}{2!} = 6-3 = 3$通り。（全体から0が先頭に来るものを引く。）

$a$を3つ、0を1つ使う場合、$aaa0$の並べ方は$\frac{4!}{3!} - 1 = 4-1 = 3$通り。（全体から0が先頭に来るものを引く必要はない。先頭に0が来ることがない）

$a$を4つ使う場合、$aaaa$の1通り。

合計は$1 + 3 + 3 + 1 = 8$通り。

したがって、0を含む場合の4桁の整数は $9 \times (1+3+3+1) = 9 \times 8 = 72$個です。

計算ミスです。正しくは $9 \times (1+ \frac{4!}{2!2!} - \frac{3!}{2!} + \frac{4!}{3!} - \frac{3!}{3!} + 1) = 9 \times (1 + 6-3 + 4-1 + 1) = 9 \times (1 + 3 + 3 + 1) = 9 \times 8 = 72$

0を含まない場合：

1～9から2つの数字を選ぶので、${}_{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$通りです。選んだ2つの数字をa, bとします。

この時、4桁の整数は、$a,a,a,b$, $a,a,b,b$, $a,b,b,b$のようにaとbを並び替えることで作られます。

$a$が1つ、$b$が3つの場合$\frac{4!}{3!} = 4$通り。

$a$が2つ、$b$が2つの場合$\frac{4!}{2!2!} = 6$通り。

$a$が3つ、$b$が1つの場合$\frac{4!}{3!} = 4$通り。

したがって、0を含まない場合の4桁の整数は $36 \times (4+6+4) = 36 \times 14 = 504$個です。

ステップ2：合計

$72 + 504 = 576$個

ステップ3：重複の修正

それぞれのケースで、同じ数字だけで構成されるパターンを除外していません。例えば、0000はありえませんが、1111なども同様です。それぞれのケースで、少なくとも1つは異なった数字が含まれている必要があります。この条件は既に満たされています。

3. 最終的な答え

576