$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a + 2) = 0$ と $x^2 - (a + 2)x + (a + 7) = 0$ がただ1つの共通解を持つとき、その共通解と $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a + 2) = 0$ と $x^2 - (a + 2)x + (a + 7) = 0$ がただ1つの共通解を持つとき、その共通解と $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

共通解を $x = \alpha$ とすると、次の2つの式が成り立ちます。

$2\alpha^2 - a\alpha - (2a + 2) = 0$ (1)

$\alpha^2 - (a + 2)\alpha + (a + 7) = 0$ (2)

(2)式を2倍して、

$2\alpha^2 - 2(a + 2)\alpha + 2(a + 7) = 0$

$2\alpha^2 - (2a + 4)\alpha + (2a + 14) = 0$ (3)

(3)式から(1)式を引くと、

$[2\alpha^2 - (2a + 4)\alpha + (2a + 14)] - [2\alpha^2 - a\alpha - (2a + 2)] = 0$

$-(2a + 4)\alpha + a\alpha + 2a + 14 + 2a + 2 = 0$

$-2a\alpha - 4\alpha + a\alpha + 4a + 16 = 0$

$-a\alpha - 4\alpha + 4a + 16 = 0$

$(-a - 4)\alpha + (4a + 16) = 0$

$(a + 4)(-\alpha + 4) = 0$

したがって、$a = -4$ または $\alpha = 4$

(i) $a = -4$ のとき

(1)式は、$2x^2 + 4x - (-8 + 2) = 0$

$2x^2 + 4x + 6 = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

(2)式は、$x^2 - (-4 + 2)x + (-4 + 7) = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

このとき共通解は2つなので条件を満たさない。

(ii) $\alpha = 4$ のとき

(1)式に代入すると、

$2(4)^2 - a(4) - (2a + 2) = 0$

$32 - 4a - 2a - 2 = 0$

$30 - 6a = 0$

$6a = 30$

$a = 5$

(2)式に代入すると、

$(4)^2 - (a + 2)(4) + (a + 7) = 0$

$16 - 4a - 8 + a + 7 = 0$

$15 - 3a = 0$

$3a = 15$

$a = 5$

$a = 5$ のとき

(1)式は、$2x^2 - 5x - (10 + 2) = 0$

$2x^2 - 5x - 12 = 0$

$(2x + 3)(x - 4) = 0$

$x = 4, -\frac{3}{2}$

(2)式は、$x^2 - (5 + 2)x + (5 + 7) = 0$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

$(x - 3)(x - 4) = 0$

$x = 3, 4$

共通解は $x = 4$ のみ。

3. 最終的な答え

共通解は $4$ であり、$a = 5$ である。