与えられた式 $2\sqrt{10 \times 3\sqrt{5}}$ を簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2\sqrt{10 \times 3\sqrt{5}}$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、内側の根号から計算します。

$2\sqrt{10 \times 3\sqrt{5}} = 2\sqrt{30\sqrt{5}}$

次に、根号の中の数をすべて根号の中に入れます。

$2\sqrt{30\sqrt{5}} = 2\sqrt{\sqrt{30^2 \times 5}} = 2\sqrt{\sqrt{900 \times 5}} = 2\sqrt{\sqrt{4500}}$

$4500 = 2^2 \times 3^2 \times 5^3$であるので、

$\sqrt{4500} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5^3} = 2 \times 3 \times 5 \sqrt{5} = 30\sqrt{5}$

よって、

$2\sqrt{\sqrt{4500}} = 2\sqrt{30\sqrt{5}} = 2\sqrt{30 \times 5^{\frac{1}{2}}} = 2(30 \times 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{30}\sqrt[4]{5}$

$2\sqrt{30\sqrt{5}} = 2\sqrt{30}\sqrt[4]{5}$

$2\sqrt{10 \times 3\sqrt{5}} = 2\sqrt{30\sqrt{5}}$

式を変形します。

$2\sqrt{30\sqrt{5}} = 2(30 \times \sqrt{5})^{1/2} = 2 \times 30^{1/2} \times (\sqrt{5})^{1/2} = 2 \times \sqrt{30} \times 5^{1/4} = 2 \sqrt{30} \sqrt[4]{5}$.

3. 最終的な答え

$2 \sqrt{30} \sqrt[4]{5}$