点(3,1)から円 $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 10$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点(3,1)から円 $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 10$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点を $(x_1, y_1)$ とおきます。

接点は円周上にあるので、

$(x_1 - 1)^2 + (y_1 + 3)^2 = 10$ ...(1)

点(3,1)から引いた接線なので、接線の方程式は、

$(x_1 - 1)(x - 1) + (y_1 + 3)(y + 3) = 10$

この接線が点(3,1)を通るので、

$(x_1 - 1)(3 - 1) + (y_1 + 3)(1 + 3) = 10$

$2(x_1 - 1) + 4(y_1 + 3) = 10$

$2x_1 - 2 + 4y_1 + 12 = 10$

$2x_1 + 4y_1 = 0$

$x_1 + 2y_1 = 0$

$x_1 = -2y_1$ ...(2)

(1)に(2)を代入すると、

$(-2y_1 - 1)^2 + (y_1 + 3)^2 = 10$

$4y_1^2 + 4y_1 + 1 + y_1^2 + 6y_1 + 9 = 10$

$5y_1^2 + 10y_1 = 0$

$5y_1(y_1 + 2) = 0$

$y_1 = 0, -2$

$y_1 = 0$ のとき、$x_1 = -2(0) = 0$

$y_1 = -2$ のとき、$x_1 = -2(-2) = 4$

したがって、接点は(0,0)と(4,-2)です。

接点が(0,0)のとき、接線の方程式は

$(0 - 1)(x - 1) + (0 + 3)(y + 3) = 10$

$-1(x - 1) + 3(y + 3) = 10$

$-x + 1 + 3y + 9 = 10$

$-x + 3y = 0$

$x - 3y = 0$

接点が(4,-2)のとき、接線の方程式は

$(4 - 1)(x - 1) + (-2 + 3)(y + 3) = 10$

$3(x - 1) + 1(y + 3) = 10$

$3x - 3 + y + 3 = 10$

$3x + y = 10$

3. 最終的な答え

$x - 3y = 0$

$3x + y = 10$