$0 < \theta < \pi$ とし、$t = \cos 2\theta$ とおく。$\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$ と $\frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$ をそれぞれ $t$ を用いて表し、$\sin 5\theta = 0$ となる $\theta$ のうち、$0 < \theta < \pi$ において最小のものの値を求め、したがって $\cos \frac{2}{5}\pi$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 < \theta < \pi$ とし、$t = \cos 2\theta$ とおく。$\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$ と $\frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$ をそれぞれ $t$ を用いて表し、$\sin 5\theta = 0$ となる $\theta$ のうち、$0 < \theta < \pi$ において最小のものの値を求め、したがって $\cos \frac{2}{5}\pi$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$ を $t$ で表す。

$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ より、

$\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta} = 3 - 4\sin^2\theta = 3 - 4(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^2\theta - 1$。

ここで、$t = \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ より $\cos^2\theta = \frac{t+1}{2}$。

よって、$\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta} = 4(\frac{t+1}{2}) - 1 = 2t + 2 - 1 = 2t + 1$。

次に、$\frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$ を $t$ で表す。

$\sin 5\theta = 16\sin^5\theta - 20\sin^3\theta + 5\sin\theta$ より、

$\frac{\sin 5\theta}{\sin \theta} = 16\sin^4\theta - 20\sin^2\theta + 5 = 16(1-\cos^2\theta)^2 - 20(1-\cos^2\theta) + 5$

$= 16(1 - 2\cos^2\theta + \cos^4\theta) - 20 + 20\cos^2\theta + 5 = 16 - 32\cos^2\theta + 16\cos^4\theta - 15 + 20\cos^2\theta$

$= 16\cos^4\theta - 12\cos^2\theta + 1 = 16(\frac{t+1}{2})^2 - 12(\frac{t+1}{2}) + 1 = 16(\frac{t^2+2t+1}{4}) - 6(t+1) + 1$

$= 4(t^2+2t+1) - 6t - 6 + 1 = 4t^2 + 8t + 4 - 6t - 5 = 4t^2 + 2t - 1$

$\sin 5\theta = 0$ となる $\theta$ について、$5\theta = n\pi$ ($n$ は整数) より、$\theta = \frac{n\pi}{5}$。

$0 < \theta < \pi$ より、$0 < \frac{n\pi}{5} < \pi$、すなわち $0 < n < 5$。したがって、$n=1,2,3,4$。

$\theta$ が最小となるのは $n=1$ のときで、$\theta = \frac{\pi}{5}$。

したがって、$t = \cos 2\theta = \cos \frac{2\pi}{5}$。

$\frac{\sin 5\theta}{\sin \theta} = 4t^2 + 2t - 1 = 0$ であるから、$4(\cos\frac{2\pi}{5})^2 + 2(\cos\frac{2\pi}{5}) - 1 = 0$。

$\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$。

$\frac{2\pi}{5}$ は第2象限の角なので、$\cos\frac{2\pi}{5} < 0$。よって、$\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$。

3. 最終的な答え

$\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta} = 2t+1$

$\frac{\sin 5\theta}{\sin \theta} = 4t^2+2t-1$

$\theta = \frac{\pi}{5}$

$\cos \frac{2}{5}\pi = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$