円に内接する三角形ABCがあり、各頂点の角度が与えられています。$\angle B = 48^\circ$, $\angle C = 72^\circ$です。頂点Aで円に接する直線 $l$ があります。$\angle \alpha$ を求めなさい。

1. 問題の内容

円に内接する三角形ABCがあり、各頂点の角度が与えられています。$\angle B = 48^\circ$, $\angle C = 72^\circ$です。頂点Aで円に接する直線 $l$ があります。$\angle \alpha$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和の性質を利用して$\angle A$を求めます。三角形ABCの内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle A + 48^\circ + 72^\circ = 180^\circ$

$\angle A + 120^\circ = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - 120^\circ$

$\angle A = 60^\circ$

次に、接弦定理を利用します。接弦定理とは、円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その弦に対する円周角に等しいという定理です。この問題では、直線 $l$ が円の接線で、弦ACが接点Aを通るので、

$\angle \alpha = \angle B = 48^\circ$

あるいは、弦ABが接点Aを通るので、$\angle CAB = \angle A = 60^\circ$で、接線と弦ABのなす角を$\beta$とすると、$\beta = \angle C = 72^\circ$ となります。

直線 $l$ と弦ABのなす角$\beta = 72^\circ$なので、$\angle \alpha = 180^\circ - \beta - \angle A = 180^\circ - 72^\circ - 60^\circ$ とはなりません。

接弦定理より、$\angle \alpha$は$\angle B$と等しくなります。

3. 最終的な答え

$\angle \alpha = 72^\circ$