0, 1, 2, 3, 4, 5 の数字から、同じ数字は1度しか使わないという条件で3桁の自然数を作る。このとき、作られる3桁の自然数の中で奇数のものの和を求めよ。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の数字から、同じ数字は1度しか使わないという条件で3桁の自然数を作る。このとき、作られる3桁の自然数の中で奇数のものの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3桁の自然数が奇数になるためには、一の位が奇数でなければならない。つまり、一の位は1, 3, 5のいずれかである。

次に、百の位は0以外の数字が入る。また、十の位は残りの数字が入る。

場合分けをして考える。

(i) 一の位が1のとき

百の位は0, 1以外の4つの数字から選べる。十の位は残りの4つの数字から選べる。

したがって、この場合、作れる奇数は $4 \times 4 = 16$ 個である。これらの数は、

$100a + 10b + 1$ (ただし、$a \neq 0,1$、$b \neq 1, a$)

と表せる。

百の位に来る数字の和は、0, 1を除いた数字の和 $(2+3+4+5) = 14$ を16/4 = 4回ずつ使うので、$14 \times 4 = 56$

十の位に来る数字の和は、1を除いた数字の和 $(0+2+3+4+5) = 14$ から百の位で使った数字を引いた和を 4回ずつ使う。

一の位は1が16回。

(ii) 一の位が3のとき

百の位は0, 3以外の4つの数字から選べる。十の位は残りの4つの数字から選べる。

したがって、この場合、作れる奇数は $4 \times 4 = 16$ 個である。これらの数は、

$100a + 10b + 3$ (ただし、$a \neq 0,3$、$b \neq 3, a$)

と表せる。

(iii) 一の位が5のとき

百の位は0, 5以外の4つの数字から選べる。十の位は残りの4つの数字から選べる。

したがって、この場合、作れる奇数は $4 \times 4 = 16$ 個である。これらの数は、

$100a + 10b + 5$ (ただし、$a \neq 0,5$、$b \neq 5, a$)

と表せる。

一の位の合計は、$1 \times 16 + 3 \times 16 + 5 \times 16 = 9 \times 16 = 144$

十の位の合計は、百の位に0が入らないことに注意すると、0,1,2,3,4,5 のうち、一の位と百の位に使われなかった数字の和を考える必要がある。百の位で0が使えないので、0以外の数字が百の位に来る回数を数える必要がある。百の位は0以外の数字が4回ずつ来る。十の位に来る数の合計は $16/4 \times (0+1+2+3+4+5 - 一の位の数字 - 百の位の数字)$ であり、一の位の数字は1,3,5、百の位の数字は0以外の数字が入る。

各桁に現れる数字の回数について考察する。

百の位：0は現れない。1から5の数字は、それぞれ $3 \times 4 = 12$ 回現れる。

十の位：各数字は、それぞれ $3 \times 3 = 9$ 回現れる。

一の位：1, 3, 5 がそれぞれ $4 \times 4 = 16$ 回現れる。

各桁の合計を計算する。

百の位：$(1+2+3+4+5) \times 12 \times 100 = 15 \times 12 \times 100 = 18000$

十の位：$(0+1+2+3+4+5) \times 9 \times 10 = 15 \times 9 \times 10 = 1350$

一の位：$(1+3+5) \times 16 \times 1 = 9 \times 16 = 144$

合計: $18000+1350+144 = 19494$

3. 最終的な答え

19494