4cm x 6cm の長方形タイルが正方形の枠内に隙間なく並べて貼られている。タイルの総枚数を求める問題。 情報ア：縦の枚数は横の枚数の1.5倍である。 情報イ：縦、横のいずれかの枚数は12枚である。 アとイの情報のうち、どれがあればタイルの総枚数が分かるかをA～Eの中から選ぶ。

1. 問題の内容

4cm x 6cm の長方形タイルが正方形の枠内に隙間なく並べて貼られている。タイルの総枚数を求める問題。

情報ア：縦の枚数は横の枚数の1.5倍である。

情報イ：縦、横のいずれかの枚数は12枚である。

アとイの情報のうち、どれがあればタイルの総枚数が分かるかをA～Eの中から選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、縦方向の枚数を$m$、横方向の枚数を$n$とする。

タイルの縦の長さは $6$ cm、横の長さは $4$ cm なので、正方形の一辺の長さは $6m = 4n$ と表せる。

アの情報を使うと、$m = 1.5n$。

これを$6m = 4n$ に代入すると、$6(1.5n) = 4n$ となり、$9n=4n$。

これは $n=0$ を意味し、明らかに矛盾している。

しかし、$6m = 4n$ を満たすように $m$ と $n$ を選ぶ必要がある。例えば、$m=2, n=3$ のとき、$6m=12$ cm, $4n=12$ cm であり、$m = 1.5n$ なので $m/n = 1.5$ 。

$m,n$が整数である必要がある。正方形の一辺の長さは $6m = 4n$ であるから、 $6m$ と $4n$ が等しい最小の正方形の辺の長さを考える。

これは$6$と$4$の最小公倍数である $12$ である。

$12=6\times2=4\times3$だから$m=2, n=3$が解の候補である。

このとき縦の枚数が2枚、横の枚数が3枚で計6枚。

正方形のタイルはより大きい場合も考えられる。

例えば、$m=4, n=6$の時、$6m=24, 4n=24$となり、$m/n = 2/3 \neq 1.5$。

次にイの情報を使うと、$m = 12$ または $n = 12$

$m=12$の時、正方形の一辺の長さは $6m = 72$ cm

$n=12$の時、正方形の一辺の長さは $4n = 48$ cm

次にアとイの両方を使う。

アより $m = 1.5n$ なので、$m=12$の時、$12 = 1.5n$ より $n=8$。

正方形の一辺は $6m = 6 \times 12 = 72$ cm。一方、$4n = 4 \times 8 = 32$ cm。これは矛盾。

$n=12$の時、$m = 1.5 \times 12 = 18$。

正方形の一辺は $4n = 4 \times 12 = 48$ cm。一方、$6m = 6 \times 18 = 108$ cm。これも矛盾。

正方形であるという条件を考慮すると、$6m = 4n$、つまり $3m = 2n$を満たす必要がある。

よって、$m = 2k, n = 3k$ (kは自然数)と表せる。

タイルの総数は $mn = (2k)(3k) = 6k^2$

情報アより、縦の枚数は横の枚数の1.5倍なので、$m = 1.5n$ が成立。

情報イより、縦、横のいずれかの枚数は12枚。

アのみでは、$m = 1.5n$なので、$3m=2n$ とあわせて考えると、$6m=4n$となる正方形の辺の長さでなければならない。$m = 2k, n = 3k$ なので、タイルの枚数は $6k^2$となる。kの値が定まらないので、枚数は決まらない。

イのみでは、$m=12$または$n=12$。

$m=12$なら、正方形の一辺の長さは72cm。 $3m = 2n$ より、$3(12) = 2n$、 $n=18$。 よって総数は $12 \times 18 = 216$ 枚。

$n=12$なら、正方形の一辺の長さは48cm。 $3m = 2n$ より、$3m = 2(12)$、$m=8$。 よって総数は $8 \times 12 = 96$ 枚。イだけでも、タイルの枚数は2パターンに定まるので分からない。

アとイの両方を使う。

アより、$m = 1.5n$。イより、$m=12$ または $n=12$。

$m=12$の場合、$12 = 1.5n$より、$n = 8$。このとき正方形の一辺の長さは$6m=72$ cm、$4n=32$ cm。これは矛盾。

$n=12$の場合、$m=1.5(12) = 18$。このとき正方形の一辺の長さは$6m=108$ cm、$4n=48$ cm。これも矛盾。

$6m=4n$ より $3m=2n$ であり、アの条件 $m=1.5n$ より、 $m=1.5n$ を $3m=2n$ に代入すると、$3(1.5n) = 2n$　すなわち、$4.5n=2n$　よって、$2.5n=0$ であり、$n=0$ となるため矛盾。

よって、アとイを両方使っても分からない。

最終的に、正方形という条件と、タイルのサイズから、$m=2k, n=3k$ とおける。

条件ア $m=1.5n$ は、$2k = 1.5(3k) = 4.5k$ となり、$2.5k=0$, $k=0$となり不適。

条件イ $m=12$または$n=12$

$m=12=2k$ なら $k=6$ よって$n=3(6)=18$ 総数は$12\times18=216$。

$n=12=3k$ なら $k=4$ よって$m=2(4)=8$ 総数は$12\times8=96$。

問題文には「正方形の枠」とあるため、これは正方形である必要がある。従って$6m=4n$を満たす必要がある。

アの情報から、$m = 1.5n$ が与えられているので、$6m = 9n$ となる。よって、$9n = 4n$ であり、これは不可能。

イの情報からは、$m=12$ または $n=12$ が与えられている。$6m = 4n$ より $3m=2n$ が必要。

もし$m=12$なら $36=2n$ より $n=18$。 タイルの総数は $12*18=216$。このとき正方形の一辺の長さは $6*12=72$, $4*18=72$ で一致。

もし$n=12$なら $3m=24$ より $m=8$。 タイルの総数は $8*12=96$。このとき正方形の一辺の長さは $6*8=48$, $4*12=48$ で一致。

アの情報からは、タイルの枚数は求められない。

イの情報だけではタイルの総数は求められない。

アとイの情報両方を使ってもタイルの総数は求められない。

3. 最終的な答え

E