与えられた3つの数、$\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, $3$ の大小関係を不等号を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた3つの数、$\sqrt[6]{243}$, $\sqrt[3]{81}$, $3$ の大小関係を不等号を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの数を同じ指数を持つ累乗根の形で表す。今回は、6乗根で統一する。

* $\sqrt[6]{243} = \sqrt[6]{3^5} = (3^5)^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{5}{6}}$

* $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = (3^4)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{8}{6}} = \sqrt[6]{3^8}$

* $3 = 3^1 = 3^{\frac{6}{6}} = \sqrt[6]{3^6}$

次に、それぞれの累乗根の中身の数を比較する。

$3^5 = 243$

$3^6 = 729$

$3^8 = 6561$

よって、

$3^5 < 3^6 < 3^8$

したがって、

$\sqrt[6]{3^5} < \sqrt[6]{3^6} < \sqrt[6]{3^8}$

これは、

$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$

であることを意味する。

3. 最終的な答え

$\sqrt[6]{243} < 3 < \sqrt[3]{81}$