与えられた数式の分母を有理化する問題です。具体的には、(1) $\sqrt{\frac{2}{3}}$, (2) $\sqrt{\frac{3}{10}}$, (3) $\sqrt{\frac{5}{2}}$, (4) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$, (5) $2\sqrt{\frac{5}{6}}$, (6) $\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{3}}$, (7) $\frac{10}{3}\sqrt{\frac{6}{5}}$ のそれぞれについて、分母に根号がない形に変形します。

1. 問題の内容

与えられた数式の分母を有理化する問題です。具体的には、(1) $\sqrt{\frac{2}{3}}$, (2) $\sqrt{\frac{3}{10}}$, (3) $\sqrt{\frac{5}{2}}$, (4) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$, (5) $2\sqrt{\frac{5}{6}}$, (6) $\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{3}}$, (7) $\frac{10}{3}\sqrt{\frac{6}{5}}$ のそれぞれについて、分母に根号がない形に変形します。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{\frac{2}{3}}$ の場合：

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{10}}$ の場合：

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{10}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{10}}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$

(3) $\sqrt{\frac{5}{2}}$ の場合：

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

(4) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ の場合：

分母を有理化するために、根号の中身を変形し、分母と分子に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$5\sqrt{\frac{3}{5}} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 5 \times \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = 5 \times \frac{\sqrt{15}}{5} = \sqrt{15}$

(5) $2\sqrt{\frac{5}{6}}$ の場合：

分母を有理化するために、根号の中身を変形し、分母と分子に $\sqrt{6}$ を掛けます。

$2\sqrt{\frac{5}{6}} = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = 2 \times \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = 2 \times \frac{\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{3}$

(6) $\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{3}}$ の場合：

分母を有理化するために、根号の中身を変形し、分母と分子に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{9}{2}\sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{9}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{9}{2} \times \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9}{2} \times \frac{\sqrt{15}}{3} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$

(7) $\frac{10}{3}\sqrt{\frac{6}{5}}$ の場合：

分母を有理化するために、根号の中身を変形し、分母と分子に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{10}{3}\sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{10}{3} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{10}{3} \times \frac{\sqrt{6} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{10}{3} \times \frac{\sqrt{30}}{5} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $\frac{\sqrt{30}}{10}$

(3) $\frac{\sqrt{10}}{2}$

(4) $\sqrt{15}$

(5) $\frac{\sqrt{30}}{3}$

(6) $\frac{3\sqrt{15}}{2}$

(7) $\frac{2\sqrt{30}}{3}$