20個の飴を3兄弟で分ける。三男よりも次男が多く、次男よりも長男が多くもらう。三男は可能な限り多くもらうとき、長男が少なくとも何個もらうか求める。

1. 問題の内容

20個の飴を3兄弟で分ける。三男よりも次男が多く、次男よりも長男が多くもらう。三男は可能な限り多くもらうとき、長男が少なくとも何個もらうか求める。

2. 解き方の手順

3兄弟がもらう飴の数をそれぞれ $x, y, z$ とする。

$x$：長男がもらう飴の数

$y$：次男がもらう飴の数

$z$：三男がもらう飴の数

条件より

$x + y + z = 20$

$x > y > z$

三男が可能な限り多くもらう。

まず、条件 $x > y > z$ を満たしつつ、なるべく $z$ を大きくすることを考える。

$z = y - 1$ かつ $y = x - 1$ ならば、$x > y > z$ を満たす。

このとき、$x = y + 1$ かつ $z = y - 1$ と表せる。

$x + y + z = (y + 1) + y + (y - 1) = 3y = 20$

$y = 20/3 = 6.66...$

$x, y, z$ は整数なので、$y$ は整数でなければならない。

三男が可能な限り多くもらうためには、 $z$ をなるべく大きくする。

$z = n$, $y = n + 1$, $x = n + 2$ とすると、

$n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 20$

$3n = 17$

$n = 17/3 = 5.66...$

$n$ は整数なので、$n = 5$ とすると、

$z = 5, y = 6, x = 7$

$5 + 6 + 7 = 18$

残りの飴は $20 - 18 = 2$ 個。

これを三兄弟の誰かに渡す必要がある。

三男が可能な限り多くもらうという条件から、なるべく三男に渡したい。

しかし、$z = 5 + 2 = 7$ とすると、$y = 6$ より、$y > z$ を満たさなくなる。

よって、次男に1個、長男に1個渡す。

$z = 5, y = 6 + 1 = 7, x = 7 + 1 = 8$

$5 + 7 + 8 = 20$

$x > y > z$を満たす。

三男が可能な限り多くもらう別のケースとして、

$z = y - 2, y = x - 1$ の場合を考える。

$x + y + z = x + (x - 1) + (x - 1 - 2) = 3x - 4 = 20$

$3x = 24$

$x = 8, y = 7, z = 5$

これは上記のケースと同じ。

あるいは、$z = y - 1, y = x - 2$ の場合を考える。

$x + y + z = x + (x - 2) + (x - 2 - 1) = 3x - 5 = 20$

$3x = 25$

$x = 25/3 = 8.33...$

$x = 9$ とすると、 $y = 7, z = 6$

$9 + 7 + 6 = 22$ となり、合計が20を超えるため不適。

以上より、長男が少なくとももらう飴の数は8個である。

3. 最終的な答え

8