$a$を正の定数とする。原点を中心とする半径1の円$C_1$上の点を$P(\cos(a\theta), \sin(a\theta))$、原点を中心とする半径2の円$C_2$上の点を$Q(2\cos(\pi - \frac{\theta}{2}), 2\sin(\pi - \frac{\theta}{2}))$とする。3点O, P, Qがこの順に一直線上にあるような最小の$\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を正の定数とする。原点を中心とする半径1の円$C_1$上の点を$P(\cos(a\theta), \sin(a\theta))$、原点を中心とする半径2の円$C_2$上の点を$Q(2\cos(\pi - \frac{\theta}{2}), 2\sin(\pi - \frac{\theta}{2}))$とする。3点O, P, Qがこの順に一直線上にあるような最小の$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3点O, P, Qが一直線上にあるとき、$OP$と$OQ$の方向が同じか、正反対である。

$P(\cos(a\theta), \sin(a\theta))$より、$OP$の方向は角度$a\theta$で表せる。

$Q(2\cos(\pi - \frac{\theta}{2}), 2\sin(\pi - \frac{\theta}{2}))$より、$OQ$の方向は角度$\pi - \frac{\theta}{2}$で表せる。

したがって、$a\theta = \pi - \frac{\theta}{2} + n\pi$ ($n$は整数)が成り立つ。

これを$\theta$について解くと、

$a\theta + \frac{\theta}{2} = (n+1)\pi$

$(a + \frac{1}{2})\theta = (n+1)\pi$

$\theta = \frac{(n+1)\pi}{a + \frac{1}{2}} = \frac{2(n+1)\pi}{2a+1}$

$\theta \geq 0$を満たす最小の$\theta$は、$n=0$のときである。

$\theta = \frac{2\pi}{2a+1}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{2}{2a+1}\pi$