2点A(4, 3), B(4, -4)と直線 $l: y = 3x$ が与えられている。 (i) 三角形OABの面積を求めよ。 (ii) 点Aを通り、直線lに平行な直線mの式を求めよ。 (iii) 直線m上にy座標が負である点Cを、三角形OABと三角形OACの面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(4, 3), B(4, -4)と直線 $l: y = 3x$ が与えられている。

(i) 三角形OABの面積を求めよ。

(ii) 点Aを通り、直線lに平行な直線mの式を求めよ。

(iii) 直線m上にy座標が負である点Cを、三角形OABと三角形OACの面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 三角形OABの面積

点Aと点Bのx座標が等しいので、線分ABはy軸に平行な直線である。

線分ABを底辺と考えると、ABの長さは $3 - (-4) = 7$ となる。

三角形OABの高さは、原点Oから線分ABまでの距離であり、これは点Aまたは点Bのx座標に等しいので、高さは4である。

したがって、三角形OABの面積は、

$\frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$

(ii) 直線mの式

直線lは $y = 3x$ であり、直線mは直線lに平行なので、直線mの傾きは3である。

直線mは点A(4, 3)を通るので、直線mの式を $y = 3x + b$ とおき、点Aの座標を代入すると、

$3 = 3 \times 4 + b$

$3 = 12 + b$

$b = -9$

したがって、直線mの式は $y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標

点Cは直線m上にあるので、Cの座標を $(x, 3x - 9)$ とおく。

三角形OACの面積は、三角形OABの面積と等しく14でなければならない。

三角形OACの面積は、

$S = \frac{1}{2} |x_A y_C - x_C y_A| = \frac{1}{2} |4(3x - 9) - x(3)| = \frac{1}{2} |12x - 36 - 3x| = \frac{1}{2} |9x - 36|$

したがって、$14 = \frac{1}{2} |9x - 36|$

$28 = |9x - 36|$

$9x - 36 = 28$ または $9x - 36 = -28$

$9x - 36 = 28$のとき、

$9x = 64$

$x = \frac{64}{9}$

$y = 3 \times \frac{64}{9} - 9 = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3}$

このとき、y座標は正になるため条件を満たさない。

$9x - 36 = -28$のとき、

$9x = 8$

$x = \frac{8}{9}$

$y = 3 \times \frac{8}{9} - 9 = \frac{8}{3} - \frac{27}{3} = -\frac{19}{3}$

このとき、y座標は負になるため条件を満たす。

したがって、点Cの座標は $(\frac{8}{9}, -\frac{19}{3})$

3. 最終的な答え

(i) 三角形OABの面積: 14

(ii) 直線mの式: $y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標: $(\frac{8}{9}, -\frac{19}{3})$