xy平面上の2点(3, 0), (-3, 0)を焦点とする楕円を考える。この楕円上の点から2つの焦点までの距離の和が10である。楕円の方程式が$\frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{B} = 1$で表されるとき、Aの値を求める。

1. 問題の内容

xy平面上の2点(3, 0), (-3, 0)を焦点とする楕円を考える。この楕円上の点から2つの焦点までの距離の和が10である。楕円の方程式が$\frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{B} = 1$で表されるとき、Aの値を求める。

2. 解き方の手順

楕円の定義より、2つの焦点からの距離の和は一定であり、その値は長軸の長さに等しい。

したがって、長軸の長さは10である。長軸の半分、つまり$a$は5となる。

よって、$A = a^2 = 5^2 = 25$。

焦点の座標は(c, 0), (-c, 0)で与えられ、$c=3$である。

楕円の方程式において、$a^2 = b^2 + c^2$が成り立つので、$b^2 = a^2 - c^2$である。

$b^2 = 25 - 9 = 16$

楕円の方程式は$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$となる。

したがって、$A = 25$となる。

3. 最終的な答え

25