座標平面上に、点A(0,5)を中心とし、x軸に接する円Kがある。円Kは直線 $l: y = 7x + 5k$ と異なる2点B, Cで交わっている。ただし、$k$ は定数である。 (1) 円Kの方程式を求めよ。 (2) $k$ の値の範囲を求めよ。 (3) $k > 0$ とする。2点B, Cにおいてそれぞれ円Kの接線を引き、この2本の接線の交点をDとする。四角形ABDCが正方形となるとき、$k$ の値を求めよ。また、このとき、点Dの座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に、点A(0,5)を中心とし、x軸に接する円Kがある。円Kは直線 $l: y = 7x + 5k$ と異なる2点B, Cで交わっている。ただし、$k$ は定数である。

(1) 円Kの方程式を求めよ。

(2) $k$ の値の範囲を求めよ。

(3) $k > 0$ とする。2点B, Cにおいてそれぞれ円Kの接線を引き、この2本の接線の交点をDとする。四角形ABDCが正方形となるとき、$k$ の値を求めよ。また、このとき、点Dの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円Kは点A(0,5)を中心とし、$x$軸に接するので、半径は5である。したがって、円Kの方程式は、

$(x - 0)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$

$x^2 + (y - 5)^2 = 25$

(2) 円Kと直線 $l: y = 7x + 5k$ が異なる2点で交わる条件は、円の中心A(0,5)と直線 $l: 7x - y + 5k = 0$ の距離が、円の半径5より小さいことである。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|7(0) - 5 + 5k|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}} < 5$

$\frac{|5k - 5|}{\sqrt{50}} < 5$

$|5k - 5| < 5\sqrt{50} = 5 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}$

$|k - 1| < 5\sqrt{2}$

$-5\sqrt{2} < k - 1 < 5\sqrt{2}$

$1 - 5\sqrt{2} < k < 1 + 5\sqrt{2}$

(3) 四角形ABDCが正方形なので、線分ADは線分BCを垂直に2等分する。また、$k > 0$ である。

円の中心Aから直線 $y = 7x + 5k$ に下ろした垂線の足をMとすると、AMの長さは、

$AM = \frac{|5k - 5|}{\sqrt{50}} = \frac{|5(k - 1)|}{5\sqrt{2}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{2}}$

ABDCが正方形なので、AMの長さは、正方形の半分の長さとなる。

正方形の辺の長さは5であり、正方形の半分の長さは $5/\sqrt{2}$ となる。

したがって、

$\frac{|k - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$

$|k - 1| = 5$

$k - 1 = 5$ または $k - 1 = -5$

$k = 6$ または $k = -4$

$k > 0$ より、$k = 6$

線分ADは線分BCを垂直に2等分するので、ADの傾きは $-1/7$ であり、ADの方程式は、

$y - 5 = -\frac{1}{7}(x - 0)$

$y = -\frac{1}{7}x + 5$

点DはAD上にあり、また、AM = 5/√2より、AD = 5√2となる。

$D(x, y)$とすると、ADの距離は $\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 5)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 5)^2} = 5\sqrt{2}$

DはAD上にあるので、$x^2 + (-\frac{1}{7}x)^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$

$x^2 + \frac{1}{49}x^2 = 50$

$\frac{50}{49}x^2 = 50$

$x^2 = 49$

$x = \pm 7$

$y = -\frac{1}{7}(\pm 7) + 5 = \mp 1 + 5$

したがって、$(7, 4)$ または $(-7, 6)$

$y = 7x + 5k = 7x + 5(6) = 7x + 30$

$y = -\frac{1}{7}x + 5$の交点を求める。

$7x + 30 = -\frac{1}{7}x + 5$

$49x + 210 = -x + 35$

$50x = -175$

$x = -3.5$

$y = -\frac{1}{7}(-3.5) + 5 = 0.5 + 5 = 5.5$

DはAから見てMの反対側にあるので、Dのx座標はMのx座標と符号が異なる。

Mのx座標は $x = -3.5$ なので、Dのx座標は正である。

したがって、D(7, 4)。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + (y - 5)^2 = 25$

(2) $1 - 5\sqrt{2} < k < 1 + 5\sqrt{2}$

(3) $k = 6$, D(7, 4)