与えられた連立不等式 $ \begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ x - 2y + 2 \geq 0 \end{cases} $ の表す領域を図示する問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$$

\begin{cases}

x^2 + y^2 \leq 4 \\

x - 2y + 2 \geq 0

\end{cases}

$$

の表す領域を図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式が表す領域を考えます。

(1) $x^2 + y^2 \leq 4$ は、中心が原点(0, 0)、半径が2の円の内部（境界を含む）を表します。

(2) $x - 2y + 2 \geq 0$ は、直線 $x - 2y + 2 = 0$ の上方領域（境界を含む）を表します。この直線は、以下のように変形できます。

$2y \leq x + 2$

$y \leq \frac{1}{2}x + 1$

つまり、傾きが $1/2$ 、y切片が1の直線より下の領域を表します。

次に、これらの領域の共通部分が、求める領域となります。

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $x - 2y + 2 = 0$ の交点を求めることもできます。直線の方程式を $x = 2y - 2$ と変形し、円の方程式に代入します。

$(2y - 2)^2 + y^2 = 4$

$4y^2 - 8y + 4 + y^2 = 4$

$5y^2 - 8y = 0$

$y(5y - 8) = 0$

よって $y = 0$ または $y = \frac{8}{5}$

$y=0$ のとき、$x = 2(0) - 2 = -2$

$y=\frac{8}{5}$ のとき、$x = 2(\frac{8}{5}) - 2 = \frac{16}{5} - \frac{10}{5} = \frac{6}{5}$

したがって、交点は $(-2, 0)$ と $(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ です。

図示する際には、中心(0,0)、半径2の円を描き、直線 $y = \frac{1}{2}x + 1$ を描きます。円の内部かつ直線より上の領域が求める領域になります。円の境界と直線の境界も含むことに注意してください。

3. 最終的な答え

求める領域は、中心が原点、半径2の円 $x^2 + y^2 = 4$ の内部(境界を含む)と、直線 $x - 2y + 2 = 0$ の上側領域(境界を含む)の共通部分です。

（図示された領域は、円の内部かつ直線の上側の領域になる。）