直角双曲線 $x^2 - y^2 = 4$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線に、原点Oから垂線OHを引く。OHを延長してこの双曲線と交わる点をMとするとき、点Pの位置にかかわらず、$OH \cdot OM$ が一定であることを示せ。

1. 問題の内容

直角双曲線 $x^2 - y^2 = 4$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線に、原点Oから垂線OHを引く。OHを延長してこの双曲線と交わる点をMとするとき、点Pの位置にかかわらず、$OH \cdot OM$ が一定であることを示せ。

2. 解き方の手順

まず、点Pにおける接線の方程式を求める。次に、原点Oから接線へ下ろした垂線OHの足の座標を求める。さらに、OHを延長した直線と双曲線の交点Mの座標を求める。最後に、$OH \cdot OM$ の値を計算し、点Pの位置によらず一定の値になることを示す。

ステップ1: 点$P(x_1, y_1)$における接線の方程式を求める。

双曲線の方程式は$x^2 - y^2 = 4$である。両辺をxで微分すると、$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$となる。したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$である。

点Pにおける接線の傾きは$\frac{x_1}{y_1}$なので、接線の方程式は

$y - y_1 = \frac{x_1}{y_1}(x - x_1)$

$y_1(y - y_1) = x_1(x - x_1)$

$y_1y - y_1^2 = x_1x - x_1^2$

$x_1x - y_1y = x_1^2 - y_1^2$

点Pは双曲線上の点なので、$x_1^2 - y_1^2 = 4$である。したがって、接線の方程式は

$x_1x - y_1y = 4$

ステップ2: 原点Oから接線へ下ろした垂線OHの足の座標を求める。

直線OHは接線$x_1x - y_1y = 4$に垂直であり、原点を通る。したがって、直線OHの方程式は

$y_1x + x_1y = 0$

または

$y = -\frac{y_1}{x_1}x$

この直線と接線の交点がHの座標$(x_H, y_H)$である。

$x_1x_H - y_1y_H = 4$

$y_1x_H + x_1y_H = 0$

2つ目の式から、$y_H = -\frac{y_1}{x_1}x_H$を最初の式に代入すると、

$x_1x_H - y_1(-\frac{y_1}{x_1}x_H) = 4$

$x_1x_H + \frac{y_1^2}{x_1}x_H = 4$

$\frac{x_1^2 + y_1^2}{x_1}x_H = 4$

$x_H = \frac{4x_1}{x_1^2 + y_1^2}$

$y_H = -\frac{y_1}{x_1}x_H = -\frac{4y_1}{x_1^2 + y_1^2}$

したがって、$H(\frac{4x_1}{x_1^2 + y_1^2}, -\frac{4y_1}{x_1^2 + y_1^2})$

ステップ3: OHを延長した直線と双曲線の交点Mの座標を求める。

Mは直線OH上にあるので、$M(kx_H, ky_H)$と表せる。

Mは双曲線上の点なので、$x^2 - y^2 = 4$を満たす。

$(kx_H)^2 - (ky_H)^2 = 4$

$k^2(x_H^2 - y_H^2) = 4$

$x_H^2 - y_H^2 = (\frac{4x_1}{x_1^2 + y_1^2})^2 - (-\frac{4y_1}{x_1^2 + y_1^2})^2 = \frac{16(x_1^2 - y_1^2)}{(x_1^2 + y_1^2)^2} = \frac{16 \cdot 4}{(x_1^2 + y_1^2)^2}$

したがって、$k^2 \frac{64}{(x_1^2 + y_1^2)^2} = 4$

$k^2 = \frac{4(x_1^2 + y_1^2)^2}{64} = \frac{(x_1^2 + y_1^2)^2}{16}$

$k = \frac{x_1^2 + y_1^2}{4}$

$M(\frac{x_1^2 + y_1^2}{4} \cdot \frac{4x_1}{x_1^2 + y_1^2}, \frac{x_1^2 + y_1^2}{4} \cdot (-\frac{4y_1}{x_1^2 + y_1^2})) = (x_1, -y_1)$

ステップ4: $OH \cdot OM$ の値を計算する。

$OH = \sqrt{(\frac{4x_1}{x_1^2 + y_1^2})^2 + (-\frac{4y_1}{x_1^2 + y_1^2})^2} = \frac{4\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{x_1^2 + y_1^2} = \frac{4}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}$

$OM = \sqrt{x_1^2 + (-y_1)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

したがって、$OH \cdot OM = \frac{4}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}} \cdot \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 4$

3. 最終的な答え

$OH \cdot OM = 4$