点 $\mathbf{p}_1 = (x_1, y_1, z_1)$ と $\mathbf{p}_2 = (x_2, y_2, z_2)$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) $|\mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1|$ を表せ。 (2) $\mathbf{p}_1$ と $\mathbf{p}_2$ が垂直であるための条件を書け。 (3) $\mathbf{p}_1$ と $\mathbf{p}_2$ が張る平行四辺形の面積 $S$ が以下の式で与えられることを示せ。 $S = \left\{ \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}^2 \right\}^{1/2}$

1. 問題の内容

点 $\mathbf{p}_1 = (x_1, y_1, z_1)$ と $\mathbf{p}_2 = (x_2, y_2, z_2)$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) $|\mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1|$ を表せ。

(2) $\mathbf{p}_1$ と $\mathbf{p}_2$ が垂直であるための条件を書け。

(3) $\mathbf{p}_1$ と $\mathbf{p}_2$ が張る平行四辺形の面積 $S$ が以下の式で与えられることを示せ。

$S = \left\{ \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}^2 \right\}^{1/2}$

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1 = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ である。ベクトルの大きさの定義より、

$|\mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

(2) $\mathbf{p}_1$ と $\mathbf{p}_2$ が垂直であるための条件は、内積が0となることである。すなわち、

$\mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{p}_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$

(3) $\mathbf{p}_1$ と $\mathbf{p}_2$ が張る平行四辺形の面積 $S$ は、ベクトル $\mathbf{p}_1$ と $\mathbf{p}_2$ の外積の大きさ $| \mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2 |$ で与えられる。外積は、

$\mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1 z_2 - y_2 z_1) \mathbf{i} - (x_1 z_2 - x_2 z_1) \mathbf{j} + (x_1 y_2 - x_2 y_1) \mathbf{k}$

したがって、

$| \mathbf{p}_1 \times \mathbf{p}_2 | = \sqrt{(y_1 z_2 - y_2 z_1)^2 + (x_1 z_2 - x_2 z_1)^2 + (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2}$

これは、

$S = \left\{ \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}^2 \right\}^{1/2}$

と一致する。

3. 最終的な答え

(1) $|\mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

(2) $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$

(3) $S = \left\{ \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}^2 \right\}^{1/2}$