問題は、正三角形ABCがあり、辺AC上に点Dがあるとき、正三角形DCEをABCの外側に作る。このとき、以下の2つの問いに答える。(1) $\angle ADE$の大きさを求める。(2) $\triangle BCD \equiv \triangle ACE$であることを証明する。

1. 問題の内容

問題は、正三角形ABCがあり、辺AC上に点Dがあるとき、正三角形DCEをABCの外側に作る。このとき、以下の2つの問いに答える。(1) $\angle ADE$の大きさを求める。(2) $\triangle BCD \equiv \triangle ACE$であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\angle ADE$の大きさを求める。

まず、$\triangle ABC$と$\triangle DCE$が正三角形であることから、

$AC = BC$

$DC = EC$

$\angle ACB = \angle DCE = 60^\circ$

よって、

$\angle ACD = \angle ACB - \angle DCB = 60^\circ - \angle DCB$

$\angle BCE = \angle DCE - \angle DCB = 60^\circ - \angle DCB$

したがって、$\angle ACD = \angle BCE$となる。

ここで、$\triangle ACD$と$\triangle BCE$において、

$AC = BC$, $DC = EC$, $\angle ACD = \angle BCE$であるから、

2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ACD \equiv \triangle BCE$。

よって、$AD = BE$。

また、$\triangle ADE$において、$AD = BE$である。

$\triangle ADC$の内角の和は180°なので、

$\angle CAD + \angle ADC + \angle DCA = 180^\circ$

$\angle CAD = \angle BAC = 60^\circ$から、

$\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ - \angle DCA = 120^\circ - \angle DCA$

$\angle BEC = \angle ADC$より、$\angle BEC = 120^\circ - \angle DCA$

$\angle ACE = \angle ACB = 60^\circ$

$\triangle ACE \equiv \triangle BCD$を示す。

$\angle CAE + \angle ACE + \angle AEC = 180^\circ$

$60^\circ + \angle AEC + \angle CAE = 180^\circ$

$\triangle ACD \equiv \triangle BCE$ より、$\angle CAD = \angle CBE$となるので、

$\angle ACB = 60^\circ$, $\angle DCE = 60^\circ$

$\angle ACE = \angle ACD + \angle DCE = \angle ACD + 60^\circ$

$\angle BCD = \angle BCE + \angle ACB = \angle BCE + 60^\circ$

$\angle ACE = \angle BCD$

$\triangle ACD \equiv \triangle BCE$ より、$AD = BE$, $\angle ADC = \angle BEC$

$\angle ADE$の角度を考える。

$\triangle ACD \equiv \triangle BCE$より、$\angle CAD = \angle CBE$, $AD = BE$

$AC = BC$かつ$\angle ACB = 60^{\circ}$、また、$CD = CE$かつ$\angle DCE = 60^{\circ}$なので、$\triangle ABC$, $\triangle DCE$は正三角形。

よって$\angle BCD = \angle ACE$

$\triangle BCD \equiv \triangle ACE$ (二辺夾角相等)

$AD=BE$, $AC=BC$, $CE=CD$

$\angle BAC = \angle ABC = \angle ACB = \angle DCE = 60^{\circ}$

$\angle ADE = 60^{\circ}$

(2) $\triangle BCD \equiv \triangle ACE$を証明する。

$\triangle ABC$と$\triangle DCE$は正三角形であるから、

$AC = BC$

$CE = CD$

$\angle ACB = \angle DCE = 60^\circ$

よって、

$\angle ACE = \angle ACB + \angle BCE = 60^\circ + \angle BCE$

$\angle BCD = \angle DCE + \angle BCE = 60^\circ + \angle BCE$

したがって、$\angle ACE = \angle BCD$

$\triangle ACE$と$\triangle BCD$において、

$AC = BC$, $CE = CD$, $\angle ACE = \angle BCD$であるから、

2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ACE \equiv \triangle BCD$。

3. 最終的な答え

(1) $\angle ADE = 60^\circ$

(2) $\triangle BCD \equiv \triangle ACE$ (証明終わり)