図の直角三角形における $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

図の直角三角形における $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) の三角形について

斜辺の長さは10、底辺の長さは6、高さは8です。

* $\sin \theta = \frac{向かい合う辺}{斜辺} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

* $\cos \theta = \frac{隣り合う辺}{斜辺} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

* $\tan \theta = \frac{向かい合う辺}{隣り合う辺} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(2) の三角形について

斜辺の長さは$4\sqrt{2}$、底辺の長さは6です。高さ（対辺）の長さを $x$ とすると、ピタゴラスの定理より

$x^2 + 6^2 = (4\sqrt{2})^2$

$x^2 + 36 = 16 \times 2$

$x^2 + 36 = 32$

$x^2 = -4$

これはありえないので問題がおかしいです。角度$\theta$がどこか誤って与えられているか、三角形の辺の長さが矛盾している可能性があります。

しかし、提供された表の$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$を埋める問題として、以下の情報を埋めます。

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ と表に与えられているので、

斜辺を3k, 対辺を $2\sqrt{2}k$とおくと、三平方の定理より

$(2\sqrt{2}k)^2 + 隣辺^2 = (3k)^2$

$8k^2 + 隣辺^2 = 9k^2$

$隣辺^2 = k^2$

$隣辺 = k$

したがって、$\cos \theta = \frac{隣辺}{斜辺} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3}$

$\tan \theta = \frac{対辺}{隣辺} = \frac{2\sqrt{2}k}{k} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \theta = \frac{4}{5}$

$\cos \theta = \frac{3}{5}$

$\tan \theta = \frac{4}{3}$

(2)

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \theta = \frac{1}{3}$

$\tan \theta = 2\sqrt{2}$