xy平面上の2点(3, 0), (-3, 0)を焦点とする楕円がある。この楕円上の点と2焦点との距離の和は10である。この楕円の方程式を$\frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{B} = 1$ の形で表したとき、$B$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上の2点(3, 0), (-3, 0)を焦点とする楕円がある。この楕円上の点と2焦点との距離の和は10である。この楕円の方程式を$\frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{B} = 1$ の形で表したとき、$B$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

楕円の焦点が(±c, 0)の形なので、楕円の方程式は$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ と表せる。

ここで、$a > b > 0$ であり、楕円上の点と2焦点との距離の和は $2a$ である。

問題文より、$2a = 10$ なので、$a = 5$ である。

また、焦点の座標は(±3, 0)なので、$c = 3$ である。

楕円の性質より、$a^2 = b^2 + c^2$ が成り立つ。

したがって、$5^2 = b^2 + 3^2$ となり、$25 = b^2 + 9$ を得る。

これを解くと、$b^2 = 25 - 9 = 16$ となる。

楕円の方程式 $\frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{B} = 1$ と $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ を比較すると、$A=a^2, B=b^2$であることがわかる。

よって、$B = b^2 = 16$ である。

3. 最終的な答え

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