$xy$平面上の2点$(3, 0), (-3, 0)$を焦点とし、これらの2焦点からの距離の和が10であるような点の軌跡である楕円の方程式を$\frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{B} = 1$で表したときの$A$の値を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上の2点$(3, 0), (-3, 0)$を焦点とし、これらの2焦点からの距離の和が10であるような点の軌跡である楕円の方程式を$\frac{x^2}{A} + \frac{y^2}{B} = 1$で表したときの$A$の値を求める。

2. 解き方の手順

楕円の焦点が$(\pm c, 0)$のとき、楕円の方程式は

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

と表され、$a, b, c$の間には、$a^2 = b^2 + c^2$の関係があります。

また、楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は$2a$に等しくなります。

この問題では、焦点が$(\pm 3, 0)$なので、$c = 3$です。

また、2焦点からの距離の和が10なので、$2a = 10$となり、$a = 5$です。

したがって、$A = a^2 = 5^2 = 25$となります。

$b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$であり、$B = b^2 = 16$です。

3. 最終的な答え

25