円 $x^2 + y^2 = 25$ を $x$ 軸を基準に $y$ 方向に2倍して得られる楕円の2焦点のうち、$y$ 座標が最も大きいものの $y$ 座標を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 25$ を $x$ 軸を基準に $y$ 方向に2倍して得られる楕円の2焦点のうち、$y$ 座標が最も大きいものの $y$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、円 $x^2 + y^2 = 25$ を $y$ 方向に2倍すると、楕円の方程式は $\frac{x^2}{25} + \frac{(y/2)^2}{25} = 1$ 、つまり $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{100} = 1$ となる。

この楕円の焦点の座標を求める。楕円の方程式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の形で、この場合 $a^2 = 25$ 、 $b^2 = 100$ である。焦点の座標は $(0, \pm c)$ で与えられ、ここで $c = \sqrt{b^2 - a^2}$ である。

$c = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

したがって、焦点の座標は $(0, 5\sqrt{3})$ と $(0, -5\sqrt{3})$ である。$y$ 座標が最も大きい焦点は $(0, 5\sqrt{3})$ なので、求める $y$ 座標は $5\sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

$5\sqrt{3}$