三角形ABCにおいて、∠ACBは鈍角でBC > ACであり、AB=6, BC=3√2, sin∠ACB=√14/4である。 (1) sin∠BACの値を求めよ。 (2) cos∠BACの値を求めよ。また、辺ACの長さを求めよ。 (3) 辺AB上に∠ACD=90°となるような点Dをとる。このとき、線分CDの長さを求めよ。また、三角形BCDの外接円の中心をOとするとき、四角形OCDBの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、∠ACBは鈍角でBC > ACであり、AB=6, BC=3√2, sin∠ACB=√14/4である。

(1) sin∠BACの値を求めよ。

(2) cos∠BACの値を求めよ。また、辺ACの長さを求めよ。

(3) 辺AB上に∠ACD=90°となるような点Dをとる。このとき、線分CDの長さを求めよ。また、三角形BCDの外接円の中心をOとするとき、四角形OCDBの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$

$\frac{6}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin \angle BAC}$

$\sin \angle BAC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}}{6 \cdot 4} = \frac{3\sqrt{28}}{24} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{7}}{24} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos^2 \angle BAC = 1 - \sin^2 \angle BAC = 1 - (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$

$\cos \angle BAC = \pm \frac{3}{4}$

∠ACBが鈍角であることより∠BACは鋭角なので、 $\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$(3\sqrt{2})^2 = 6^2 + AC^2 - 2 \cdot 6 \cdot AC \cdot \frac{3}{4}$

$18 = 36 + AC^2 - 9AC$

$AC^2 - 9AC + 18 = 0$

$(AC - 3)(AC - 6) = 0$

$AC = 3, 6$

BC > ACより、 $AC = 3$

(3)

$\angle ACD = 90^{\circ}$なので、$\triangle ADC$は直角三角形。

$\cos \angle BAC = \frac{AD}{AC}$なので、$AD = AC \cos \angle BAC = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{9}{4})^2} = \sqrt{9 - \frac{81}{16}} = \sqrt{\frac{144 - 81}{16}} = \sqrt{\frac{63}{16}} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

三角形BCDの外接円の中心をOとするとき、OCDBの面積を求める。

OCDBは円に内接する四角形。

∠BCD = 180 - ∠ACD -∠ACB = 90 -∠ACB (鈍角) = ?

∠OBD = ∠OCD = 90度より OCDBは円に内接する四角形となり，

ODが直径となる。

$\triangle BCD$で$BC = 3\sqrt{2}, CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}, BD = AB - AD = 6 - \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$, $AC = 3$

(3) $CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

四角形OCDBの面積は省略