$\triangle ABC$ において、線分 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $M$、線分 $AC$ を $4:3$ に内分する点を $N$ とし、2つの線分 $BN$ と $CM$ の交点を $P$ とする。このとき、$\overrightarrow{AP} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$ となる $\alpha$ と $\beta$ を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、線分 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $M$、線分 $AC$ を $4:3$ に内分する点を $N$ とし、2つの線分 $BN$ と $CM$ の交点を $P$ とする。このとき、$\overrightarrow{AP} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$ となる $\alpha$ と $\beta$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $BN$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{AP} = (1-s)\overrightarrow{AB} + s\overrightarrow{AN}$

と表せる。ここで、$\overrightarrow{AN} = \frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$ であるから、

$\overrightarrow{AP} = (1-s)\overrightarrow{AB} + \frac{4s}{7}\overrightarrow{AC}$

となる。

次に、点 $P$ が線分 $CM$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AM}$

と表せる。ここで、$\overrightarrow{AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ であるから、

$\overrightarrow{AP} = \frac{2t}{5}\overrightarrow{AB} + (1-t)\overrightarrow{AC}$

となる。

$\overrightarrow{AP}$ の2つの表現

$\overrightarrow{AP} = (1-s)\overrightarrow{AB} + \frac{4s}{7}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{2t}{5}\overrightarrow{AB} + (1-t)\overrightarrow{AC}$

において、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は一次独立であるから、係数を比較して、

$1-s = \frac{2t}{5}$

$\frac{4s}{7} = 1-t$

が成り立つ。

これらを連立方程式として解くと、

$s = \frac{7}{11}$

$t = \frac{15}{22}$

が得られる。

したがって、

$\overrightarrow{AP} = (1-\frac{7}{11})\overrightarrow{AB} + \frac{4}{7}\cdot\frac{7}{11}\overrightarrow{AC}$

$= \frac{4}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{11}\overrightarrow{AC}$

また

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5}\cdot\frac{15}{22}\overrightarrow{AB} + (1-\frac{15}{22})\overrightarrow{AC}$

$= \frac{3}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{7}{22}\overrightarrow{AC}$

よって、$\overrightarrow{AP} = \frac{4}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{11}\overrightarrow{AC}$ である。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AP} = \frac{4}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{11}\overrightarrow{AC}$