三角形OABにおいて、OA=4, OB=3, AB=√13である。点Oから辺ABに垂線OHを下ろす。ベクトルOA=a, ベクトルOB=bとするとき、以下の問題を解く。 (1) 内積 a・bを求めよ。 (2) ベクトルOHをa, bを用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=4, OB=3, AB=√13である。点Oから辺ABに垂線OHを下ろす。ベクトルOA=a, ベクトルOB=bとするとき、以下の問題を解く。

(1) 内積 a・bを求めよ。

(2) ベクトルOHをa, bを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内積 a・b を求める。

余弦定理より、

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cos{\angle AOB}$

$13 = 16 + 9 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cos{\angle AOB}$

$24 \cos{\angle AOB} = 12$

$\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2}$

したがって、

$a \cdot b = |a| |b| \cos{\angle AOB} = 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 6$

(2) ベクトルOHをa, bを用いて表す。

ベクトルOH = s ベクトルOA + t ベクトルOB = sa + tbとおく。

ベクトルOHはベクトルABに垂直であるから、

ベクトルOH・ベクトルAB = 0

ここで、ベクトルAB = ベクトルOB - ベクトルOA = b - aであるから、

(sa + tb)・(b - a) = 0

s(a・b) - s|a|^2 + t|b|^2 - t(a・b) = 0

6s - 16s + 9t - 6t = 0

-10s + 3t = 0

t = (10/3)s

また、点Hは直線AB上にあるので、s + t = 1

s + (10/3)s = 1

(13/3)s = 1

s = 3/13

よって、t = (10/3) * (3/13) = 10/13

ベクトルOH = (3/13)a + (10/13)b

3. 最終的な答え

(1) $a \cdot b = 6$

(2) $\overrightarrow{OH} = \frac{3}{13}\overrightarrow{a} + \frac{10}{13}\overrightarrow{b}$