円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線が、以下の条件を満たすときの接線の方程式と接点の座標を求める問題です。 (1) 直線 $x + y = 1$ に平行 (2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線が、以下の条件を満たすときの接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

(1) 直線 $x + y = 1$ に平行

(2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直

2. 解き方の手順

(1) 直線 $x + y = 1$ に平行な接線を求める。

- 平行な直線の傾きは等しいので、求める接線の傾きは $-1$ である。

- 接線の方程式を $y = -x + k$ とおく。

- 円の方程式に代入して、$x^2 + (-x + k)^2 = 50$

- 整理すると、$x^2 + x^2 - 2kx + k^2 = 50$ より $2x^2 - 2kx + k^2 - 50 = 0$

- 接線なので、判別式 $D = 0$ となる。$D/4 = (-k)^2 - 2(k^2 - 50) = k^2 - 2k^2 + 100 = -k^2 + 100 = 0$

- $k^2 = 100$ より $k = \pm 10$

- よって、接線の方程式は $y = -x \pm 10$

- $y = -x + 10$ のとき、$2x^2 - 20x + 100 - 50 = 0$ より $2x^2 - 20x + 50 = 0$、 $x^2 - 10x + 25 = 0$、 $(x-5)^2 = 0$。 よって、$x=5$。 $y = -5 + 10 = 5$。接点は $(5, 5)$

- $y = -x - 10$ のとき、$2x^2 + 20x + 100 - 50 = 0$ より $2x^2 + 20x + 50 = 0$、$x^2 + 10x + 25 = 0$、$(x+5)^2 = 0$。よって、$x = -5$。$y = -(-5) - 10 = -5$。接点は $(-5, -5)$

(2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直な接線を求める。

- 垂直な直線の傾きの積は $-1$ なので、求める接線の傾きは $\frac{1}{7}$ である。

- 接線の方程式を $y = \frac{1}{7}x + l$ とおく。

- 円の方程式に代入して、$x^2 + (\frac{1}{7}x + l)^2 = 50$

- 整理すると、$x^2 + \frac{1}{49}x^2 + \frac{2}{7}lx + l^2 = 50$ より $\frac{50}{49}x^2 + \frac{2}{7}lx + l^2 - 50 = 0$

- 接線なので、判別式 $D = 0$ となる。$D/4 = (\frac{l}{7})^2 - \frac{50}{49}(l^2 - 50) = \frac{l^2}{49} - \frac{50l^2}{49} + \frac{2500}{49} = \frac{-49l^2 + 2500}{49} = 0$

- $-49l^2 + 2500 = 0$ より $l^2 = \frac{2500}{49}$。$l = \pm \frac{50}{7}$

- よって、接線の方程式は $y = \frac{1}{7}x \pm \frac{50}{7}$

- $y = \frac{1}{7}x + \frac{50}{7}$ のとき、$\frac{50}{49}x^2 + \frac{2}{7}(\frac{50}{7})x + \frac{2500}{49} - 50 = 0$ より $\frac{50}{49}x^2 + \frac{100}{49}x + \frac{2500 - 2450}{49} = 0$、 $\frac{50}{49}x^2 + \frac{100}{49}x + \frac{50}{49} = 0$、$x^2 + 2x + 1 = 0$、 $(x+1)^2 = 0$。よって、$x = -1$。 $y = \frac{1}{7}(-1) + \frac{50}{7} = \frac{49}{7} = 7$。 接点は $(-1, 7)$

- $y = \frac{1}{7}x - \frac{50}{7}$ のとき、$\frac{50}{49}x^2 + \frac{2}{7}(-\frac{50}{7})x + \frac{2500}{49} - 50 = 0$ より $\frac{50}{49}x^2 - \frac{100}{49}x + \frac{50}{49} = 0$、$x^2 - 2x + 1 = 0$、 $(x-1)^2 = 0$。よって、$x = 1$。 $y = \frac{1}{7}(1) - \frac{50}{7} = -\frac{49}{7} = -7$。 接点は $(1, -7)$

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $y = -x + 10$、接点の座標: $(5, 5)$

接線の方程式: $y = -x - 10$、接点の座標: $(-5, -5)$

(2) 接線の方程式: $y = \frac{1}{7}x + \frac{50}{7}$、接点の座標: $(-1, 7)$

接線の方程式: $y = \frac{1}{7}x - \frac{50}{7}$、接点の座標: $(1, -7)$