一辺の長さが3の正四面体OABCがあり、辺OC上にOD=1となる点D、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。 (1) △ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を引き、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。 (2) 四面体OAEDの体積を求めよ。 (3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがあり、辺OC上にOD=1となる点D、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。

(1) △ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を引き、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。

(2) 四面体OAEDの体積を求めよ。

(3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) △ABCは正三角形で、一辺の長さは3である。正三角形の外接円の半径Rは、正弦定理を用いると、$2R = \frac{a}{sinA}$で求められる。ここで、$a=3$, $A=60^\circ$である。

$2R = \frac{3}{sin60^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

$R = \sqrt{3}$

次に、Oから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。正四面体OABCの高さOHを求める。OHは、Oから△ABCの中心までの距離である。△ABCの中心は、外接円の中心と一致する。OA=OB=OC=3であり、△ABCは正三角形なので、Hは△ABCの重心でもある。

OHは、Oから底面ABCに下ろした垂線なので、△OAHは直角三角形である。OA=3, AH=R=$\sqrt{3}$であるから、三平方の定理より、$OH^2 + AH^2 = OA^2$。

$OH^2 + (\sqrt{3})^2 = 3^2$

$OH^2 + 3 = 9$

$OH^2 = 6$

$OH = \sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積Vを求める。

四面体OAEDの体積は、底面を△OAD、高さをEから平面OADに下ろした垂線の長さと考えると計算が複雑になるので、空間座標を導入して計算する。

O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B($\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0$), C($\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{6}$)となるように座標を設定する。

DはOC上にあるので、D($\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}$)

EはOB上にあるので、E($\frac{3}{2} \times \frac{3}{4}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{3}{4}, 0$) = ($\frac{9}{8}, \frac{9\sqrt{3}}{8}, 0$)

四面体OAEDの体積は、$\frac{1}{6} | (\vec{OA} \times \vec{OD}) \cdot \vec{OE} |$で計算できる。

$\vec{OA} = (3, 0, 0)$, $\vec{OD} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$, $\vec{OE} = (\frac{9}{8}, \frac{9\sqrt{3}}{8}, 0)$

$\vec{OA} \times \vec{OD} = (0 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}, 0 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}, 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} - 0 \cdot \frac{1}{2}) = (0, -\sqrt{6}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

$(\vec{OA} \times \vec{OD}) \cdot \vec{OE} = 0 \cdot \frac{9}{8} - \sqrt{6} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = -\frac{9\sqrt{18}}{8} = -\frac{9 \cdot 3\sqrt{2}}{8} = -\frac{27\sqrt{2}}{8}$

$V = \frac{1}{6} | -\frac{27\sqrt{2}}{8} | = \frac{27\sqrt{2}}{48} = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AEDの値を求める。

$\vec{EA} = (3 - \frac{9}{8}, 0 - \frac{9\sqrt{3}}{8}, 0) = (\frac{15}{8}, -\frac{9\sqrt{3}}{8}, 0)$

$\vec{ED} = (\frac{1}{2} - \frac{9}{8}, \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{9\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{6}}{3} - 0) = (-\frac{5}{8}, -\frac{23\sqrt{3}}{24}, \frac{\sqrt{6}}{3})$

$|\vec{EA}| = \sqrt{(\frac{15}{8})^2 + (-\frac{9\sqrt{3}}{8})^2} = \sqrt{\frac{225}{64} + \frac{243}{64}} = \sqrt{\frac{468}{64}} = \sqrt{\frac{117}{16}} = \frac{3\sqrt{13}}{4}$

$|\vec{ED}| = \sqrt{(-\frac{5}{8})^2 + (-\frac{23\sqrt{3}}{24})^2 + (\frac{\sqrt{6}}{3})^2} = \sqrt{\frac{25}{64} + \frac{1587}{576} + \frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{225+1587+384}{576}} = \sqrt{\frac{2196}{576}} = \sqrt{\frac{549}{144}} = \frac{\sqrt{549}}{12} = \frac{\sqrt{9 \cdot 61}}{12} = \frac{3\sqrt{61}}{12} = \frac{\sqrt{61}}{4}$

$\vec{EA} \cdot \vec{ED} = \frac{15}{8} \cdot (-\frac{5}{8}) + (-\frac{9\sqrt{3}}{8}) \cdot (-\frac{23\sqrt{3}}{24}) + 0 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = -\frac{75}{64} + \frac{9 \cdot 23 \cdot 3}{8 \cdot 24} = -\frac{75}{64} + \frac{621}{192} = \frac{-225 + 621}{192} = \frac{396}{192} = \frac{33}{16}$

$cos∠AED = \frac{\vec{EA} \cdot \vec{ED}}{|\vec{EA}| |\vec{ED}|} = \frac{\frac{33}{16}}{\frac{3\sqrt{13}}{4} \cdot \frac{\sqrt{61}}{4}} = \frac{33}{16} \cdot \frac{16}{3\sqrt{13} \sqrt{61}} = \frac{11}{\sqrt{793}}$

3. 最終的な答え

(1) △ABCの外接円の半径：$\sqrt{3}$

線分OHの長さ：$\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積：$\frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AEDの値：$\frac{11}{\sqrt{793}}$