円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線が、次の条件を満たすとき、その接線の方程式と接点の座標を求める問題です。 (1) 直線 $x + y = 1$ に平行 (2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線が、次の条件を満たすとき、その接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

(1) 直線 $x + y = 1$ に平行

(2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直

2. 解き方の手順

(1) 直線 $x + y = 1$ に平行な接線を求める場合

平行な直線の傾きは等しいので、求める接線の傾きは $-1$ です。

接線の方程式を $y = -x + k$ とおきます。これを円の方程式に代入して、

$x^2 + (-x + k)^2 = 50$

$x^2 + x^2 - 2kx + k^2 = 50$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 50 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、接線となります。判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となります。

$D/4 = (-k)^2 - 2(k^2 - 50) = k^2 - 2k^2 + 100 = -k^2 + 100 = 0$

$k^2 = 100$

$k = \pm 10$

よって、接線の方程式は $y = -x \pm 10$ すなわち $x + y = \pm 10$ です。

接点の座標を求めるには、 $x + y = 10$ のとき、 $y = 10 - x$ なので、 $2x^2 - 20x + 50 = 0$ となり、$x^2 - 10x + 25 = 0$ 、 $(x - 5)^2 = 0$ よって、$x = 5$、$y = 10 - 5 = 5$ となり、接点の座標は $(5, 5)$ です。

$x + y = -10$ のとき、 $y = -10 - x$ なので、$2x^2 + 20x + 50 = 0$ となり、$x^2 + 10x + 25 = 0$ 、 $(x + 5)^2 = 0$ よって、$x = -5$、$y = -10 - (-5) = -5$ となり、接点の座標は $(-5, -5)$ です。

(2) 直線 $7x + y = -2$ に垂直な接線を求める場合

垂直な直線の傾きの積は $-1$ なので、求める接線の傾きは $\frac{1}{7}$ です。

接線の方程式を $y = \frac{1}{7}x + k$ とおきます。これを円の方程式に代入して、

$x^2 + (\frac{1}{7}x + k)^2 = 50$

$x^2 + \frac{1}{49}x^2 + \frac{2}{7}kx + k^2 = 50$

$49x^2 + x^2 + 14kx + 49k^2 = 2450$

$50x^2 + 14kx + 49k^2 - 2450 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、接線となります。判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となります。

$D/4 = (7k)^2 - 50(49k^2 - 2450) = 49k^2 - 2450k^2 + 122500 = -2401k^2 + 122500 = 0$

$2401k^2 = 122500$

$k^2 = \frac{122500}{2401} = \frac{2500}{49}$

$k = \pm \frac{50}{7}$

よって、接線の方程式は $y = \frac{1}{7}x \pm \frac{50}{7}$ すなわち $x - 7y = \mp 50$ です。

接点の座標を求めるには、 $x - 7y = -50$ のとき、 $x = 7y - 50$ なので、$50y^2 - 700y + 2450 = 0$ となり、$y^2 - 14y + 49 = 0$ 、 $(y - 7)^2 = 0$ よって、$y = 7$、$x = 7(7) - 50 = 49 - 50 = -1$ となり、接点の座標は $(-1, 7)$ です。

$x - 7y = 50$ のとき、 $x = 7y + 50$ なので、$50y^2 + 700y + 2450 = 0$ となり、$y^2 + 14y + 49 = 0$ 、 $(y + 7)^2 = 0$ よって、$y = -7$、$x = 7(-7) + 50 = -49 + 50 = 1$ となり、接点の座標は $(1, -7)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $x + y = 10$、接点の座標: $(5, 5)$

接線の方程式: $x + y = -10$、接点の座標: $(-5, -5)$

(2) 接線の方程式: $x - 7y = -50$、接点の座標: $(-1, 7)$

接線の方程式: $x - 7y = 50$、接点の座標: $(1, -7)$