$\triangle ABC$において、$\angle ACB$は鈍角で$BC > AC$であり、$AB = 6$, $BC = 3\sqrt{2}$, $\sin{\angle ACB} = \frac{\sqrt{14}}{4}$である。 (1) $\sin{\angle BAC}$の値を求めよ。 (2) $\cos{\angle BAC}$の値を求めよ。また、辺ACの長さを求めよ。 (3) 辺AB上に$\angle ACD = 90^\circ$となるような点Dをとる。このとき、線分CDの長さを求めよ。また、$\triangle BCD$の外接円の中心をOとするとき、四角形OCDBの面積を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$\angle ACB$は鈍角で$BC > AC$であり、$AB = 6$, $BC = 3\sqrt{2}$, $\sin{\angle ACB} = \frac{\sqrt{14}}{4}$である。

(1) $\sin{\angle BAC}$の値を求めよ。

(2) $\cos{\angle BAC}$の値を求めよ。また、辺ACの長さを求めよ。

(3) 辺AB上に$\angle ACD = 90^\circ$となるような点Dをとる。このとき、線分CDの長さを求めよ。また、$\triangle BCD$の外接円の中心をOとするとき、四角形OCDBの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = \frac{BC}{\sin{\angle BAC}}$

$\sin{\angle BAC} = \frac{BC \sin{\angle ACB}}{AB} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}}{6} = \frac{3\sqrt{28}}{24} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{7}}{24} = \frac{6\sqrt{7}}{24} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos{\angle BAC}$を求める。

$\sin^2{\angle BAC} + \cos^2{\angle BAC} = 1$

$\cos^2{\angle BAC} = 1 - \sin^2{\angle BAC} = 1 - (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$

$\cos{\angle BAC} = \pm \frac{3}{4}$

$\angle ACB$が鈍角であるため、$\angle BAC$は鋭角なので$\cos{\angle BAC} > 0$である。

よって、$\cos{\angle BAC} = \frac{3}{4}$

次に、余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$(3\sqrt{2})^2 = 6^2 + AC^2 - 2 \cdot 6 \cdot AC \cdot \frac{3}{4}$

$18 = 36 + AC^2 - 9AC$

$AC^2 - 9AC + 18 = 0$

$(AC - 3)(AC - 6) = 0$

$AC = 3, 6$

$BC > AC$より、$3\sqrt{2} > AC$

$3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1.414 = 4.242 > AC$

よって、$AC = 3$

(3) $\angle ACD = 90^\circ$となる点Dは、辺AB上にあり、$AD = x$とおくと、$\triangle ADC$は直角三角形である。

$\angle DAC = \angle BAC$であるから、$\cos{\angle DAC} = \frac{AD}{AC}$

$\frac{3}{4} = \frac{x}{3}$

$x = \frac{9}{4}$

$AD = \frac{9}{4}$

$\triangle ADC$において、

$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 3^2 - (\frac{9}{4})^2 = 9 - \frac{81}{16} = \frac{144 - 81}{16} = \frac{63}{16}$

$CD = \frac{\sqrt{63}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

$\triangle BCD$の外接円の中心Oを考える。$\angle ACD = 90^\circ$なので、$BD = AB - AD = 6 - \frac{9}{4} = \frac{24 - 9}{4} = \frac{15}{4}$

$BC = 3\sqrt{2}$

$\angle BDC = 90^\circ$ではないので、$\triangle BCD$は直角三角形ではない。

$\angle ACD=90^\circ$なので、$CD \perp AD$つまり、$CD \perp AB$

したがって、$\triangle BCD$において、$BC = 3\sqrt{2}$, $BD = \frac{15}{4}$, $CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

$\triangle BCD$の外接円の半径Rを求めると、

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin{\angle BDC}} = 2R$

$\angle ACB = \theta$とおくと、$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

$\cos{\theta} = -\sqrt{1-\frac{14}{16}} = -\sqrt{\frac{2}{16}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\angle ADC = \alpha$とおくと、$\alpha + \angle BDC = 180$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\angle BAC} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos{\angle BAC} = \frac{3}{4}$, $AC = 3$

(3) $CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$