扇形の弧の長さ、中心角、面積に関する問題と、三角関数の加法定理に関する問題の2つが出題されています。 (1) 弧の長さが与えられた扇形の中心角を求める問題と、面積が与えられた扇形の中心角を求める問題。 (2) 周囲の長さが一定の扇形の面積が最大となるときの半径、中心角、面積を求める問題。 (3) $\sin \alpha$ と $\cos \beta$ の値が与えられたとき、$\sin(\alpha+\beta)$ と $\cos(\alpha+\beta)$ の値を求める問題。 (4) 2つの直線のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値と $\theta$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

扇形の弧の長さ、中心角、面積に関する問題と、三角関数の加法定理に関する問題の2つが出題されています。

(1) 弧の長さが与えられた扇形の中心角を求める問題と、面積が与えられた扇形の中心角を求める問題。

(2) 周囲の長さが一定の扇形の面積が最大となるときの半径、中心角、面積を求める問題。

(3) $\sin \alpha$ と $\cos \beta$ の値が与えられたとき、$\sin(\alpha+\beta)$ と $\cos(\alpha+\beta)$ の値を求める問題。

(4) 2つの直線のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値と $\theta$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

* 半径 $r$, 弧の長さ $l$, 中心角 $\theta$ の関係式 $l = r\theta$ を用います。

$8\pi = 12 \cdot \theta$ より $\theta = \frac{8\pi}{12} = \frac{2}{3}\pi$.

* 半径 $r$, 中心角 $\theta$, 面積 $S$ の関係式 $S = \frac{1}{2}r^2\theta$ を用います。

$6 = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \theta$ より $\theta = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

(2)

* 周囲の長さが12であることから、$2r + r\theta = 12$. よって $\theta = \frac{12-2r}{r}$.

* 面積 $S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{12-2r}{r} = \frac{1}{2}r(12-2r) = -r^2 + 6r$.

* $S = -(r^2 - 6r) = -(r^2 - 6r + 9 - 9) = -(r-3)^2 + 9$.

よって、$r=3$ のとき、$S$ は最大値 $9$ をとります。

このとき、$\theta = \frac{12-2\cdot 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(3)

* $\alpha$ が第2象限の角であるから、$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.

* $\beta$ が第3象限の角であるから、$\sin \beta = -\sqrt{1 - \cos^2 \beta} = -\sqrt{1 - (-\frac{2}{7})^2} = -\sqrt{\frac{45}{49}} = -\frac{3\sqrt{5}}{7}$.

* $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{2}{7}) + (-\frac{\sqrt{5}}{3}) \cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{7}) = -\frac{4}{21} + \frac{15}{21} = \frac{11}{21}$.

* $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (-\frac{\sqrt{5}}{3}) \cdot (-\frac{2}{7}) - \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{7}) = \frac{2\sqrt{5}}{21} + \frac{6\sqrt{5}}{21} = \frac{8\sqrt{5}}{21}$.

(4)

* $\tan \theta = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}$ より、$\tan \theta = \frac{-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = -1$.

* $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲では $\tan \theta$ は負にならないので、なす角 $\theta$ は $\frac{3\pi}{4}$ となる。ただし問題文に $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とあるので、$\pi - \theta$ で考えて $\theta = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) ア：2, イ：3, ウ：4, エ：3

(2) オ：3, カ：2, キ：9

(3) アイ：11, ウエ：21, オ：8, カ：5, キク：21

(4) ケ：1, コ：1, サ：4