問題は、直線① ($y=x$) と直線② ($y=-x+a$) に関する幾何学的な問題です。与えられた情報から、$a$ の値、直線DEの式 ($y=mx+n$) の $m$ と $n$ の値、そして点Fの座標を求める必要があります。点Aのx座標は4、点Bのx座標は-6、点Cのx座標は-2、AC:CD=3:2であり、点Eは直線①と直線②の交点です。点Fは直線②上の点でx座標が正であり、三角形ADBの面積と三角形ABFの面積が等しくなるときの点Fの座標を求めます。

1. 問題の内容

問題は、直線① ($y=x$) と直線② ($y=-x+a$) に関する幾何学的な問題です。与えられた情報から、$a$ の値、直線DEの式 ($y=mx+n$) の $m$ と $n$ の値、そして点Fの座標を求める必要があります。点Aのx座標は4、点Bのx座標は-6、点Cのx座標は-2、AC:CD=3:2であり、点Eは直線①と直線②の交点です。点Fは直線②上の点でx座標が正であり、三角形ADBの面積と三角形ABFの面積が等しくなるときの点Fの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) $a$ の値を求める。

点Aは直線①上にあるので、Aの座標は(4, 4)です。点Cのx座標は-2なので、Cのy座標は $y = -x + a = -(-2) + a = 2 + a$ です。直線ACはx軸に平行なので、AとCのy座標は等しく、 $4 = 2 + a$。したがって、$a = 2$。

(イ) 直線DEの式 ($y=mx+n$) を求める。

点Dは直線AC上にあり、AC:CD=3:2なので、Dのy座標はCのy座標からCD分だけ下がります。ACはx軸に平行なので、ACの長さは $4 - (-2) = 6$ です。CDの長さは $6 \times \frac{2}{3} = 4$ なので、Dのy座標は $4 - 4 = 0$。したがって、Dの座標は(-2 - 4, 0) = (-6, 0)と求まります。

Eは直線①と直線②の交点なので、$x = -x + a$、$2x = a = 2$、$x = 1$。Eの座標は (1, 1) です。

D(-6, 0)とE(1, 1)を通る直線の傾きは、 $m = \frac{1 - 0}{1 - (-6)} = \frac{1}{7}$。

直線DEの式は、$y = \frac{1}{7}x + n$。点E(1, 1)を通るので、$1 = \frac{1}{7} \times 1 + n$、$n = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$。

したがって、$m = \frac{1}{7}$、$n = \frac{6}{7}$。

(ウ) 点Fの座標を求める。

三角形ADBと三角形ABFの面積が等しいということは、点Fから直線ABまでの距離と点Dから直線ABまでの距離が等しいということです。点Dと点Fは直線ABに関して反対側にあります。

直線ABは直線①なので、$y=x$であり、$x-y=0$です。点D(-6, 0)から直線ABまでの距離は $\frac{|-6 - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$。

点Fは直線②上にあるので、Fの座標を$(x, -x+2)$とします。

点Fから直線ABまでの距離は $\frac{|x - (-x + 2)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2x - 2|}{\sqrt{2}}$。

これが $3\sqrt{2}$ に等しいので、 $|2x - 2| = 6$、$2x - 2 = 6$ または $2x - 2 = -6$。

$2x = 8$ より $x = 4$、 $2x = -4$ より $x = -2$。

点Fのx座標は正であるので、Fのx座標は4。Fのy座標は $-4 + 2 = -2$。

したがって、Fの座標は (4, -2) です。

3. 最終的な答え

(ア) $a = 2$ (選択肢5)

(イ) (i) $m = \frac{1}{7}$ (選択肢4)

(ii) $n = \frac{6}{7}$ (選択肢2)

(ウ) 点Fの座標は (4, -2)