点Aと直線が与えられたとき、直線に関して点Aと対称な点Bの座標を求める問題です。 (1) 直線 $x+2y=0$ に関して、点 $A(3, -4)$ と対称な点Bを求める。 (2) 直線 $x+y+1=0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点Bを求める。

1. 問題の内容

点Aと直線が与えられたとき、直線に関して点Aと対称な点Bの座標を求める問題です。

(1) 直線 $x+2y=0$ に関して、点 $A(3, -4)$ と対称な点Bを求める。

(2) 直線 $x+y+1=0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点Bを求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Bの座標を $(x, y)$ とします。

直線 $x+2y=0$ を $l$ とします。

手順1: 線分ABの中点が直線 $l$ 上にある。

線分ABの中点Mの座標は $(\frac{3+x}{2}, \frac{-4+y}{2})$。

中点Mが直線 $l$ 上にあるので、

$\frac{3+x}{2} + 2(\frac{-4+y}{2}) = 0$

$3+x -8 +2y = 0$

$x+2y = 5$ ...(1)

手順2: 直線ABと直線 $l$ が垂直に交わる。

直線ABの傾きは $\frac{y-(-4)}{x-3} = \frac{y+4}{x-3}$。

直線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{2}$。

2つの直線が垂直なので、

$\frac{y+4}{x-3} \times (-\frac{1}{2}) = -1$

$y+4 = 2(x-3)$

$y+4 = 2x -6$

$2x - y = 10$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1): $x+2y = 5$

(2): $2x - y = 10$

(2)より、$y = 2x-10$。これを(1)に代入すると、

$x + 2(2x-10) = 5$

$x + 4x - 20 = 5$

$5x = 25$

$x = 5$

$y = 2(5) - 10 = 0$

したがって、点Bの座標は $(5, 0)$。

(2)

点Bの座標を $(x, y)$ とします。

直線 $x+y+1=0$ を $l$ とします。

手順1: 線分ABの中点が直線 $l$ 上にある。

線分ABの中点Mの座標は $(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2})$。

中点Mが直線 $l$ 上にあるので、

$\frac{3+x}{2} + \frac{2+y}{2} + 1 = 0$

$3+x + 2+y + 2 = 0$

$x+y = -7$ ...(3)

手順2: 直線ABと直線 $l$ が垂直に交わる。

直線ABの傾きは $\frac{y-2}{x-3}$。

直線 $l$ の傾きは $-1$。

2つの直線が垂直なので、

$\frac{y-2}{x-3} \times (-1) = -1$

$y-2 = x-3$

$x-y = 1$ ...(4)

(3)と(4)の連立方程式を解きます。

(3): $x+y = -7$

(4): $x-y = 1$

(3)+(4)より、$2x = -6$

$x = -3$

$y = -7 - (-3) = -4$

したがって、点Bの座標は $(-3, -4)$。

3. 最終的な答え

(1) $(5, 0)$

(2) $(-3, -4)$