$xy$平面上に2点 $A(0, 2)$, $B(2, 2)$ と円 $C: x^2 + y^2 = 1$ がある。点 $P$ が円 $C$ 上を動くとき、$AP^2 + BP^2$ の最大値と最小値を求め、また、それらを与える $P$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に2点 $A(0, 2)$, $B(2, 2)$ と円 $C: x^2 + y^2 = 1$ がある。点 $P$ が円 $C$ 上を動くとき、$AP^2 + BP^2$ の最大値と最小値を求め、また、それらを与える $P$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$P$ の座標を $P(x, y)$ とおくと、$P$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるので、

$AP^2 = x^2 + (y - 2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 - 4y + 4 = 5 - 4y$

$BP^2 = (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 1 - 4x - 4y + 8 = 9 - 4x - 4y$

よって、

$AP^2 + BP^2 = (5 - 4y) + (9 - 4x - 4y) = 14 - 4x - 8y$

$x = \cos \theta$, $y = \sin \theta$ とおくと、

$AP^2 + BP^2 = 14 - 4 \cos \theta - 8 \sin \theta = 14 - 4(\cos \theta + 2 \sin \theta)$

ここで、$f(\theta) = \cos \theta + 2 \sin \theta$ とおくと、

$f(\theta) = \sqrt{1^2 + 2^2} \sin (\theta + \alpha) = \sqrt{5} \sin(\theta + \alpha)$ （ただし、$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}, \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$）

したがって、

$-\sqrt{5} \leq f(\theta) \leq \sqrt{5}$

よって、

$AP^2 + BP^2 = 14 - 4 f(\theta)$

$14 - 4 \sqrt{5} \leq AP^2 + BP^2 \leq 14 + 4 \sqrt{5}$

最大値を与えるのは $f(\theta) = -\sqrt{5}$ のときで、$f(\theta) = \sqrt{5} \sin (\theta + \alpha) = - \sqrt{5}$ より、$\sin (\theta + \alpha) = -1$

$\theta + \alpha = \frac{3}{2} \pi$

$\theta = \frac{3}{2} \pi - \alpha$

$\cos \theta = \cos(\frac{3}{2} \pi - \alpha) = -\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin \theta = \sin(\frac{3}{2} \pi - \alpha) = -\cos \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$

最小値を与えるのは $f(\theta) = \sqrt{5}$ のときで、$f(\theta) = \sqrt{5} \sin (\theta + \alpha) = \sqrt{5}$ より、$\sin (\theta + \alpha) = 1$

$\theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$

$\cos \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$

3. 最終的な答え

最大値：$14 + 4 \sqrt{5}$

最大値を与える $P$ の座標：$(-\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}})$

最小値：$14 - 4 \sqrt{5}$

最小値を与える $P$ の座標：$(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$