線分ABの長さが4であるとき、その中点Cを中心とし、線分ACを直径とする円を考える。点Bからこの円に引いた接線の接点をDとする。このとき、(1)線分BDの長さを求め、(2)線分ADとCDの長さの比を求めよ。

1. 問題の内容

線分ABの長さが4であるとき、その中点Cを中心とし、線分ACを直径とする円を考える。点Bからこの円に引いた接線の接点をDとする。このとき、(1)線分BDの長さを求め、(2)線分ADとCDの長さの比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分BDの長さ

まず、ACは円の直径なので、AC = AB/2 = 4/2 = 2 である。また、円の半径はAC/2 = 2/2 = 1 となる。

次に、円の中心をOとすると、OB = OC + CB = 1 + 2 = 3 である。

BDは円の接線なので、三角形ODBは直角三角形である。したがって、三平方の定理より、

$OB^2 = OD^2 + BD^2$

$3^2 = 1^2 + BD^2$

$9 = 1 + BD^2$

$BD^2 = 8$

$BD = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) 線分ADとCDの長さの比

三角形ABDは直角三角形ではないことに注意する。三角形ADCにおいて、∠ACD = θとすると、余弦定理より

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos{\theta}$

また、三角形CBDにおいて、∠BCD = 180 - θだから、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{(180-\theta)}$

$\cos{(180-\theta)} = - \cos{\theta}$なので、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 + 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\theta}$

また、$AB \cdot BC = BD^2$が成り立つので、$4 \cdot 2 = (2\sqrt{2})^2$となるので、$8 = 8$となる。

方べきの定理より、$BD^2 = BC \cdot BE$ (EはAの延長線上で円と交わる点)。

ここで、円の中心OからBDに垂線をおろし、交点をHとすると、

三角形OBDにおいて、$OD^2+BD^2 = OB^2$ より、$1^2+(2\sqrt{2})^2=3^2$となる。

また、∠ODB = 90度なので、三平方の定理より、

$AD^2 = AB^2+BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos∠ABD$

$∠ABD = ∠BDC$

円周角の定理より、$∠BDC = ∠DAC$

三角形ABDと三角形CBDが相似なので、$\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{BC} = \frac{AB}{BD}$

よって、$AD : CD = AB : BD = 4 : 2\sqrt{2} = 2 : \sqrt{2} = \sqrt{2} : 1$

3. 最終的な答え

(1) BDの長さ: $2\sqrt{2}$

(2) AD : CD = $\sqrt{2} : 1$