三角形ABCがあり、その頂点の座標はA(3, 4), B(0, 0), C(5, 0)で与えられています。 (1) 各辺の垂直二等分線が一点で交わることを示す必要があります。 (2) 各頂点から対辺に下ろした垂線が一点で交わることを示す必要があります。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、その頂点の座標はA(3, 4), B(0, 0), C(5, 0)で与えられています。

(1) 各辺の垂直二等分線が一点で交わることを示す必要があります。

(2) 各頂点から対辺に下ろした垂線が一点で交わることを示す必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 各辺の垂直二等分線について

まず、各辺の中点を求めます。

ABの中点M1は、((3+0)/2, (4+0)/2) = (3/2, 2)

BCの中点M2は、((0+5)/2, (0+0)/2) = (5/2, 0)

CAの中点M3は、((5+3)/2, (0+4)/2) = (4, 2)

次に、各辺の傾きを求めます。

ABの傾きは、(4-0)/(3-0) = 4/3

BCの傾きは、(0-0)/(5-0) = 0

CAの傾きは、(4-0)/(3-5) = -2

各辺の垂直二等分線の傾きは、各辺の傾きの逆数の符号を反転させたものです。

ABの垂直二等分線の傾きは、-3/4

BCの垂直二等分線の傾きは、定義できない（垂直な直線）

CAの垂直二等分線の傾きは、1/2

各辺の垂直二等分線の方程式を求めます。

ABの垂直二等分線: $y - 2 = (-3/4)(x - 3/2)$ => $y = (-3/4)x + 9/8 + 2 = (-3/4)x + 25/8$

BCの垂直二等分線: $x = 5/2$

CAの垂直二等分線: $y - 2 = (1/2)(x - 4)$ => $y = (1/2)x - 2 + 2 = (1/2)x$

3つの直線が一点で交わることを示すため、2つの直線の方程式を解き、その解が3番目の直線の方程式を満たすことを確認します。

BCの垂直二等分線は $x=5/2$ です。これをCAの垂直二等分線 $y=(1/2)x$ に代入すると、$y = (1/2)(5/2) = 5/4$ となります。交点は(5/2, 5/4)です。

この点(5/2, 5/4)をABの垂直二等分線の式 $y = (-3/4)x + 25/8$ に代入します。

$5/4 = (-3/4)(5/2) + 25/8 = -15/8 + 25/8 = 10/8 = 5/4$

等式が成り立つため、3つの垂直二等分線は一点(5/2, 5/4)で交わります。

(2) 各頂点から対辺に下ろした垂線について

AからBCへの垂線：BCの傾きは0なので、BCはx軸に平行です。したがって、AからBCへの垂線は$x = 3$となります。

BからCAへの垂線：CAの傾きは-2なので、BからCAへの垂線の傾きは1/2です。B(0, 0)を通るので、$y = (1/2)x$となります。

CからABへの垂線：ABの傾きは4/3なので、CからABへの垂線の傾きは-3/4です。C(5, 0)を通るので、$y = (-3/4)(x - 5)$となります。

3つの直線が一点で交わることを示すため、2つの直線の方程式を解き、その解が3番目の直線の方程式を満たすことを確認します。

AからBCへの垂線は $x = 3$ です。これをBからCAへの垂線 $y = (1/2)x$ に代入すると、$y = (1/2)(3) = 3/2$ となります。交点は(3, 3/2)です。

この点(3, 3/2)をCからABへの垂線の式 $y = (-3/4)(x - 5)$ に代入します。

$3/2 = (-3/4)(3 - 5) = (-3/4)(-2) = 6/4 = 3/2$

等式が成り立つため、3つの垂線は一点(3, 3/2)で交わります。

3. 最終的な答え

(1) 各辺の垂直二等分線は一点(5/2, 5/4)で交わる。

(2) 各頂点から対辺に下ろした垂線は一点(3, 3/2)で交わる。